上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试（一模）数学试卷（含答案）

虹口区2024学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学 试卷 2024. 12 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的 相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．已知集合，，则． 2．函数的定义域是_____． 3．若，则_____． 4．在的二项展开式中，项的系数为_____． 5．设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_____． 6．若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_____．(结果保留) 7．已知非零复数满足，，则的虚部为_____． 8．已知则的解集是_____． ( 第9题图 )9．如图，已知正三角形和正方形的边长均为，且二面角的大小为，则_____． 10．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点，且，则的离心率为_____． 11． 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为，且在照片上飞船船体长度为，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了．假设该记者连按拍照键间的反应时间为，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_____．（用含有、、、的式子表示） 12．已知项数为的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足，.若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_____个． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，则“”是“”的（ ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 14．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 15．已知边长为的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为，若空间中的动点满足，、、，则点的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）． A． B． C． D． 16．设数列的前四项分别为、、、，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ① 存在等比数列以及锐角，使成立． ② 对任意等差数列以及锐角，均不能使成立． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 设． (1) 当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2) 若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1) 求证：∥平面； ( 第 18 题图 )(2) 若底面为梯形，∥，，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 19．(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第2小题6分) 2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为、、、、共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． 第19题图1 第19题图2 (1) 求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分 ... ...