福建省福州市十校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

2024-2025学年第一学期期中考试高二数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A． B． C． D． 3．过点，且垂直于直线的直线方程是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（ ） A． B． C． D． 5．直线的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．以下关于直线的表述正确的是（ ） A．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 B．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 C．点斜式方程可用于表示过点且不与轴垂直的直线 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A． B．直线到平面的距离为2 C．点到直线的距离为 D．平面截正方体的截面的面积为 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（ ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分（14题第一空2分，第二空3分）. 12．已知直线，直线，若，则= . 13．在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标 . 14．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积. 16．如图，在三棱柱中，，，平面. (1)求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 17．已知圆过两点、，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知点， ①判断点与圆的位置关系，并说明理由； ②若点在圆内，求过点的最短弦长及其所在的直线方程；若点在圆上或圆外，求过点的圆的切线方程. 18．在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 1．D 【详解】直线的方程化为，其斜率， 倾斜角满足，所以. 故选：D 2．B 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：B 3．A 【详解】根据垂直关系得所求直线的斜率为，又过点 所以所求直线方程为，即. 故选：A 4．A 【详解】如图，由已知，，， ∵， ∴ ， ∴，即， 故选：A. 5．B 【详解 ... ...