4.1 数列的概念（两个课时打包）（同步训练）（含解析）—2024-2025学年高二上学期数学选择性必修第二册（人教A版(2019））

4.1　数列的概念（第二课时）（同步训练） 一、选择题 1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 2.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n3，则a5＋a6的值为(　　) A.27 B.91 C.152 D.218 3.已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　) A.1　　　 　B.　　　　 C.　　 　　D. 4.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4an＋3，则a4＝(　　) A.67 B.115 C.31 D.127 5.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋n，则a9等于(　　) A.20 B.30 C.36 D.28 6.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an的值为(　　) A.2＋lg n　 B.2＋(n－1)lg n C.2＋n lg n　 D.1＋n lg n 7.(多选)已知数列{an}满足(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，Sn为其前n项和，且a1＝1，则下列结论正确的是(　　) A.a2＝3 B.a3＝6 C.S4＝20 D.an＝2n－1 8.(多选)由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则(　　) A.b3的值是5 B.b4的值是9 C.b5的值是15 D.b6的值是33 二、填空题 9.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则a1＝_____ 10.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝_____ 11.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n－21，前n项和为Sn，若n＞m，则Sn－Sm的最大值是_____ 12.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n－5，那么它的通项公式是_____ 三、解答题 13.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，求an． 14.已知函数f(x)＝x－．数列{an}满足f(an)＝－2n，且an＞0．求数列{an}的通项公式． 15.设在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：由题可知an－an－1＝n(n∈N*，n≥2)．故选B． 2.C 解析：因为数列{an}的前n项和为Sn＝n3，所以a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152．故选C． 3.C 解析：a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝．故选C． 4.D 解析：因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4an＋3，所以a2＝4a1＋3＝7，a3＝4a2＋3＝31，a4＝4a3＋3＝127．故选D． 5.A 解析：因为a1＝2，2an＋1＝2an＋n，所以an＋1－an＝．所以a9＝(a9－a8)＋(a8－a7)＋…＋(a2－a1)＋a1．所以a9＝＋＋…＋＋2＝＋2＝20．故选A． 6.A 解析：因为an＋1－an＝lg ， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lg ＋lg ＋…＋lg ＋2 ＝lg ＋2＝lg n＋2．故选A． 7.AD 解析：由(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，得(n－1)an＋(n－1)＝nan－1＋n(n≥2)，又a1＝1，所以当n≥2时，＝，所以an＋1＝(a1＋1)×××…×＝2×××…×＝2n，从而an＝2n－1．当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1．所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，a4＝2×4－1＝7．所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋5＋7＝16．故选AD． 8.ABD 解析：因为bn＝abn－1，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33．故选ABD． 二、填空题 9.答案：－1 解析：因为Sn＝2an＋1，故当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1． 10.答案：－ 解析：由a1＝0，可求a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－． 11.答案：10 解析：an＝－n2＋10n－21＝－(n－3)(n－7)，则当3≤n≤7时，an≥0，当n≤2或n≥8时，an＜0，所以Sn的最大值为S6或S7，Sm的最小值为S2或S3，故Sn－Sm的最大值为S6－S3＝a4＋a5＋a6＝3＋4＋3＝10． 12.答案：an＝ 解析：①当n＝1时，a1＝S1＝2＋1－5＝－2；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n－5)－[2(n－1)2＋(n－1)－5]＝4n－1．当n＝1时，4n－1＝4－1＝3≠－2，综上，an＝ 三、解答题 13.解：由题意得an＋1 ... ...