高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性； 2.利用函数的性质推断函数的图象； 3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强． 【真题体验】 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( ) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 2.(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为( ) 3.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝( ) A.－3 B.－2 C.0 D.1 【热点突破】 热点一 函数的概念与表示 1.复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集. 例1 (1)(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的定义域是( ) A.[－2，5] B.(－2，3] C.[－1，3] D.(－2，5] (2)已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.[－2，0)∪(0，2] C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2) 训练1 (1)(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝则f＝( ) A. B. C. D.2 (2)19世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值域的是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 热点二 函数的性质 1.函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. 考向1 奇偶性与单调性 例2 (多选)(2024·河南名校大联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则( ) A.f[f(1)]0的解集为( ) A.(－2，－1) B.(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞) (2)(多选)(2024·茂名模拟)已知函数f(x)对于 x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝x2，则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B.f(x)是周期为2的函数 C.f(－1)＝0 D.f＝ 热点三 函数的图象 1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性、解不等式、求解函数的零点等问题. 例4 (1)(2024·运城模拟)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(x)·ln(x＋)的图象大致为( ... ...
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