2025届高中数学二轮复习 微专题3　抽象函数与嵌套函数（课件+练习）

微专题3　抽象函数与嵌套函数 高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查抽象函数性质的应用，难度中档偏上；2.以选择题、填空题的形式考查嵌套函数零点的个数或由零点的个数求参数等，难度中档或偏上. 【真题体验】 1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3] 2.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A.f(0)＝0 B.g＝0 C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2) 3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A.f(0)＝0 B.f(1)＝0 C.f(x)是偶函数 D.x＝0为f(x)的极小值点 4.(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝(　　) A.－21 B.－22 C.－23 D.－24 【热点突破】 热点一　抽象函数 研究抽象函数性质的方法 (1)用赋值法研究抽象函数. (2)利用数形结合法研究抽象函数. (3)利用函数性质之间的关系推理论证研究抽象函数. 考向1　赋值法研究抽象函数 例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(1)＝_____；f(2 025)＝_____. 考向2　数形结合法研究抽象函数 例2 已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其中f(x)满足f(－x)＝f(x)且在(0，＋∞)上单调递减，函数g(x)满足g(1－x)＝g(1＋x)且在(1，＋∞)上单调递减，设函数F(x)＝[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]，则对任意x∈R，均有(　　) A.F(1－x)≥F(1＋x) B.F(1－x)≤F(1＋x) C.F(1－x2)≥F(1＋x2) D.F(1－x2)≤F(1＋x2) 考向3　利用函数性质之间的关系推理论证 例3 (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且f为奇函数，则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是周期为3的周期函数 D.f(0)＋f(1)＋…＋f(2 025)＝－2 规律方法　1.求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、奇偶性及周期性，往往在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用. 2.数形结合可通过画图使抽象函数形象化，根据奇偶性、周期性等性质画出示意图，摘取有效信息，结合图象解题. 3.函数的对称轴、对称中心及周期性，三者已知其中两个，可推出另外一个. 训练1 (1)(多选)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则下述正确的是(　　) A.f(0)＝0 B.f(1)＝0 C.f(x)是偶函数 D.若f(2)＝2，则f＝ (2)(多选)(2024·烟台调研)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则关于f(x)的说法正确的是(　　) A.f(0)＝f(2) B.f(0)＝f(－2) C.周期T＝2 D.在(2，3)上单调递减 热点二　嵌套函数 嵌套函数的零点问题主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查二次函数与复合函数相关零点，与函数的图象性质交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 例4 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2[f(x)]2－3f(x)－2的零点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 规律方法　1.破解此类问题的主要步骤 第一步：换元解套，将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g(x)与y＝f(t)的零点问题. 第二步：依次求解：令f(t)＝0求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数. 2.含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”，结合性质、图象抓临 ... ...