微专题4 导数与函数的单调性、极值、最值 高考定位 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题. 【真题体验】 1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为( ) A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 2.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( ) A.bc>0 B.ab>0 C.b2＋8ac>0 D.ac<0 3.(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( ) A.－， B.－， C.－，＋2 D.－，＋2 4.(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2·(x－4)，则( ) A.x＝3是f(x)的极小值点 B.当0f(x) 【热点突破】 热点一 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域. (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认. (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 考向1 求函数的单调区间 例1 已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a∈R.讨论f(x)的单调性. 考向2 单调性的应用 例2 (1)(2024·浙江名校协作体联考)已知函数f(x)＝sin x＋acos x在区间上是减函数，则实数a的取值范围为( ) A.(－1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(1－，＋∞) D.[－1，＋∞] (2)(2024·苏锡常镇四市调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋sin x，则不等式f(2x－1)0(或f′(x)<0)在x∈D上有解. 训练1 (1)(2024·三明调研)函数f(x)＝x－ln(2x＋1)的单调递增区间为( ) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)＝e|x|－x2，若a＝f(ln 4)，b＝f，c＝f(21.1)，则a，b，c的大小关系为( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a (3)(2024·苏州模拟)已知函数g(x)＝2x＋ln x－在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围是_____. 热点二 利用导数研究函数的极值 由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点. (2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，进而确定极值点. 例3 (2024·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 易错提醒 1.不能忽略函数的定义域. 2.f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性. 3.函数的极小值不一定比极大值小. 训练2 (1)(2024·聊城质检)函数f(x)＝ex＋x的极值点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2024·成都诊断)若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为( ) A.1 B.－1或－3 C.－1 D.－3 热点三 利用导数研究函数的最值 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 例4 (2024·武汉测试)已知函数f(x)＝ ... ...
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