微专题9 导数与函数的零点 高考定位 导数与函数的零点问题是高考的热点题型和常见题型：(1)判断、证明或讨论函数零点的个数；(2)已知零点存在情况求参数范围；(3)函数零点性质的研究. 【难点突破】 [高考真题] (2022·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 样题1 (2024·渭南质检改编)已知函数f(x)＝ex－4sin x，其中e为自然对数的底数，证明：f(x)在[0，＋∞)上有两个零点. 样题2 已知函数f(x)＝eln x＋bx2e1－x.若f(x)的导函数f′(x)恰有两个零点，求b的取值范围. 样题3 已知函数f(x)＝－aln x，a≠0，若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围. 规律方法 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 训练 (2024·温州模拟)已知f(x)＝e1－(x>0). (1)求导函数f′(x)的最值； (2)试讨论关于x的方程f(x)＝kx(k>0)的根的个数，并说明理由. 【精准强化练】 1.已知函数f(x)＝x3－kx＋k2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围. 2.已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数. 3.(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex－sin x－1. (1)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性； (2)证明函数f(x)在区间(－π，0]上有且仅有两个零点. 4.(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝(x－a)2＋bex(a，b∈R). (1)若a＝0时，函数y＝f(x)有3个零点，求b的取值范围； (2)若a>0，b＝，方程f(x)＝3有解，求a的取值范围. 【解析版】 [高考真题] (2022·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 解 由f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(x＞0)，得f′(x)＝a＋－＝(x＞0). 当a＝0时，f′(x)＝， 当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝－1<0， 所以f(x)不存在零点； 当a＜0时，f′(x)＝， 若x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 若x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝a－1＜0， 所以f(x)不存在零点； 当a＞0时，f′(x)＝， 当a＝1时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝a－1＝0， 所以函数f(x)恰有一个零点，即a＝1满足条件； 当a＞1时，0＜＜1，故f(x)在(0，)，(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减. 因为f(1)＝a－1＞0，所以f()＞f(1)＞0， 当x→0＋时，f(x)→－∞， 由零点存在定理可知f(x)在(0，)上必有一个零点，所以a＞1满足条件； 当0＜a＜1时，＞1，故f(x)在(0，1)，(，＋∞)上单调递增，在(1，)上单调递减. 因为f(1)＝a－1＜0，所以f()＜f(1)＜0， 当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 由零点存在定理可知f(x)在(，＋∞)上必有一个零点，即0＜a＜1满足条件； 综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为(0，＋∞). 样题1 (2024·渭南质检改编)已知函数f(x)＝ex－4sin x，其中e为自然对数的底数，证明：f(x)在[0，＋∞)上有两个零点. 证明 设g(x)＝f′(x)＝ex－4cos x， 则g′(x)＝ex＋4sin x. 显然当x∈[0，π]时，g′(x)>0，当x∈[π，＋∞)时，g′(x)>eπ－4>0， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f′(0)＝－3<0，f′＝e－2>0， 所以存在唯一x0∈，使f′(x0)＝0. 则当x∈(0，x0)时，f′(x)<0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋ ... ...
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