2025届高中数学二轮复习 微专题10　导数与三角函数问题（课件+练习）

微专题10　导数与三角函数问题 高考定位　导数与三角函数的交汇问题是高考命题的热点问题，一般以解答题的形式出现，由于三角函数无论怎么求导仍是三角函数，所以此类问题难度较大. 【难点突破】 [高考真题] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)＋sin x<0，求a的取值范围. 样题1 (2024·福州质检改编)已知函数f(x)＝sin x＋x2，证明：f(x)>－. 样题2 (2024·吕梁模拟节选)已知函数f(x)＝ex－cos x，若f(x)≥ax－ax2对任意x∈R恒成立，求正实数a的取值集合. 样题3 (2024·长沙名校联考)设函数f(x)＝sin x－xcos x，g(x)＝f(x)＋sin x－ax3. (1)证明：当x∈时，f(x)有唯一零点. (2)若对任意x∈[0，＋∞)，不等式g(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围. 规律方法　导数与三角函数问题的解法 (1)利用三角函数的有界性：在含参数的问题中，往往需要分类讨论，若能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解. (2)利用三角函数的周期性：涉及零点问题时，可根据三角函数的周期性分段来研究. (3)利用分隔直线法：常见的一些不等式如：当x∈时，sin x0. 【解析版】 [高考真题] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)＋sin x<0，求a的取值范围. 解　(1)(cos2x)′＝(cos xcos x)′ ＝－sin xcos x＋cos x·(－sin x) ＝－2sin xcos x， 当a＝1时，f(x)＝x－， 所以f′(x)＝1－＝ ＝. 因为x∈，所以cos x∈(0，1)， 故f′(x)<0， 故当a＝1时，f(x)在上单调递减. (2)令g(x)＝f(x)＋sin x， 则g′(x)＝a－＋cos x，x∈， 令u(x)＝g′(x)， 则u′(x)＝－－sin x<0， 所以u(x)在上单调递减， 若g(x)＝f(x)＋sin x<0，又g(0)＝0，则g′(0)＝a－1＋1≤0，所以a≤0. 当a＝0时，因为sin x－＝sin x， 又x∈，所以01， 所以f(x)＋sin x＝sin x－<0，满足题意. 当a<0时，因为x∈，所以ax<0， 所以f(x)＋sin x＝ax－＋sin x－. 证明　f′(x)＝cos x＋2x. 令函数u(x)＝f′(x)，则u′(x)＝－sin x＋2>0， 所以u(x)＝f′(x)是增函数. 因为f′(0)＝1，f′＝cos －1<0， 所以存在x0∈，使得f′(x0)＝cos x0＋2x0＝0， 即x＝cos2x0. 所以当x∈(－∞，x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增. f(x)≥f(x0)＝sin x0＋x＝sin x0＋cos2x0＝－sin2x0＋sin x0＋. 因为x0∈，所以sin x0>sin>sin＝－， 所以－sin2x0＋sin x0＋>－×－＋＝－. 故f(x)>－. 样题2 (2024·吕梁模拟节选)已知函数f(x)＝ex－cos x，若f(x)≥ax－ax2对任意x∈R恒成立，求正实数a的取值集合. 解　由题意得对任意x∈R，ax2－ax＋ex－cos x ... ...