(课件网) 2.6.1.1余弦定理 北师大版（2019）必修第二册 第二章 平面向量及其应用 学习目标 了解余弦定理的证明过程 02 掌握余弦定理及其推论 01 能够利用余弦定理解决有关问题 03 知识回顾 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？ 探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c，怎样用a ， b和C表示c？ b c a 探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c，怎样用a ， b和C表示c？ b c a （1）当时，求第三边. （2）一般地，已知两边及其夹角如何表示？ 探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c，怎样用a ， b和 C 表示 c？ b c a 设＝a，＝b ，＝c ， 那么c＝a－b 所以c2＝a2＋b2－2abcos C ①把几何元素用向量表示： ②进行恰当的向量运算： ③向量式化成几何式： 同理可得 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B. 抽象概括 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 还有其他方法证明余弦定理吗？ 余弦定理可以看作是勾股定理的推广， 勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 利用几何法证明：在△ABC中，三个角 A，B，C所对的边分别是a ， b ， c （1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，过顶点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D， C A D B （2）当△ABC为直角三角形时，同理可证. 则CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝AB－AD＝c－bcosA. 在Rt △ BCD中，由勾股定理得 BD ＝CD ＋BD ， 即a ＝b sin A＋（c－bcosA） ＝b sin A＋c ＋b cos A－2bccosA， 所以a ＝b ＋ c － 2bccosA. 同理可证b ＝ a ＋ c －2ac cosB， c ＝ a ＋ b － 2abcos C 利用几何法证明：在△ABC中，三个角 A，B，C所对的边分别是a ， b ， c （3）当△ABC 为钝角三角形时，如图所示， 即 a ＝b sin A＋（bcosA－c） ，即 a ＝b ＋ c － 2bccosA. 过顶点 C 作 AB 延长线的垂线 CD，垂足为 D， 则CD＝bsinA，BD＝bcosA－c. 在Rt △ BCD中，由勾股定理得 BC ＝CD ＋BD ， C D B A 同理可证 b ＝ a ＋ c －2ac cosB， c ＝ a ＋ b － 2abcos C 同学们也可以尝试用坐标方法证明 利用坐标法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a ， b ， c 如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 同理可证 b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 则 A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)， ∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A， 即 a2＝b2＋c2－2bccos A. 思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 余弦定理的推论 已知三条边求任意角 （SSS） 已知两边及其夹角求第三边 （SAS、SSA） 拓展 利用余弦定理判断三角形的形状 (1)若b2＋c2 > a ，根据余弦定理的推论可知 ，则角 A 为锐角． 若a ＋c2 > b2 ， a ＋b2 > c2 ，同理可得角B，C为锐角. 所以当b2＋c2 > a ， a ＋c2 > b2 ，且a ＋b2 > c2时， △ABC是锐角三角形. 拓展 利用余弦定理判断三角形的形状 (2)若b2＋c2 ＜ a ，根据余弦定理的推论可知 ，则△ABC是钝角三角形且角A是钝角． 同理可得， 若a ＋c2 ＜ b2 ，则△ABC是钝角三角形且角B是钝角. 若a ＋b2 ＜ c2 ，则△ABC是钝角三角形且角C是钝角. 拓展 利用余弦定理判断三角形的形状 (3)若b2c2 ＝ a ，根据余弦定理的推论可知 ，则△ABC是直角三角形且角A是直角． 同理可得， 若a c2 ＝ b2 ，则△ABC 是直角三 ... ...
