人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式专题 分式运算的八种技巧（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 人教版八年级数学上名师点拨与训练 第15章 分式 专题 分式运算的八种技巧 分式运算的一般方法就是按照分式运算的法则、运算的顺序进行，但对一些运算量大的题目，运用一般方法计算量太大，导致出错，需要选择运算技巧。 技巧一、直接约分法 通过公式提公因式，直接约分即可。 【例1-1】．化简：. 【例1-2】．（1）先化简，再求值：，其中. （2）当时，求的值. 【变式1-1】．计算. 【变式1-2】．计算： 【变式1-3】．已知，求的值. 【变式1-4】．计算：. 技巧二、巧选运算顺序 分式混合运算中，有时候选择运算律可以使运算简便，所以有括号时首先观察能否使用乘法分配律，如果能运用乘法分配律，可以使运算简便。 【例2-1】．下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程. (1)小红同学解法的依据是；小逸同学解法的依据是.(填序号) ①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；③分式的基本性质. (2)请选择一种解法,写出完整的解答过程. 【例2-2】．先化简，然后从-3，0，1，3四个数中选择一个适当的数作为a的值代入求值. 【变式2-1】．化简，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是_____，乙同学解法的依据是_____；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质； ③乘法分配律；④乘法交换律. （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程. 【变式2-2】．化简：，并解答： （1）当时，求原式的值； （2）原式的值能等于-1吗？为什么？ 【变式2-3】．先化简，再求值：，其中. 【变式2-4】．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下.则( ) 甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④ A.甲、乙都错 B.甲、乙都对 C.甲对，乙错 D.甲错，乙对 技巧三、分段分步法 一次通分计算量大利用相邻分母之间的特点，分步通分，构造公式，使运算简化。此法也用于解这类特征的分式方程 【例3-1】求分式，当a＝2时的值． 【例3-2】请阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程 解：① ② ③ ∴④ ∴． 把代入原方程检验知是原方程的解． 请你回答： （1）得到①式的做法是 ； 得到②式的具体做法是 ； 得到③式的具体做法是 ； 得到④式的根据是 ． （2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误？答： ．错误的原因是 （若第一格回答“正确”的，此空不填）． 【变式3-1】．计算：. 【变式3-2】．先计算,通过以上计算,请你用一种你认为较简便的方法计算. 【变式3-3】．已知,求的值. 【变式3-4】解方程：. 技巧四、分裂整数法 当算式中各分子的次数与分母次数相同时，一般利用分裂整数法把分子降次后再通分。 【例4-1】阅读下面材料并解答问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则 ∵对任意上述等式均成立， ∴且，∴， ∴ 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出的最小值． 【例4-2】我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：＝＝+＝1+； ＝＝+＝2+（﹣）． （1）下列分式中，属于真分式的是：　③　（填序号）； ①　　 ② ③　 　④ （2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝　 　，若假分式的值为正整数，则整数a的值为　 　； （3）将假分式 化成整式与真分式的和的形 ... ...