专题练习02 数列-【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一下册）（含解析）

专题练习02 数列 【中职专用】中职高二数学（高教版2023拓展模块一下册） 题型一 数列的概念【频次0.4，难度0.3】 例1 已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，数列中，且是递增数列，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】求得p成立时，q成立时，可得结论. 【详解】若双曲线的渐近线与圆没有公共点， 则点到直线的距离大于1，即，解得； 若数列是递增数列，则， 所以p是q的充分不必要条件． 故选：A. 变式1 在数列中，若（），则的值为（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】D 【分析】由数列的递推式，分别求出的值即可得出结果. 【详解】当时，， 当时，，所以， 当时，，所以. 故选：D. 例2 已知数列，则数列前9项的下四分位数是（ ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题意，数列前9项从小到大排列后，下四分位数为第3项，可解. 【详解】根据题意，数列前9项为， 对其从小到大排列为， 因为，则下四分位数为第3项，为. 故选：B 变式2 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义可证得数列是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题. 【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以， 则，即数列是公比为2的等比数列，又因为， 所以， 故选：C. 题型二 等差数列的概念【频次0.7，难度0.5】 例3 设正项等比数列的公比为，若成等差数列，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式计算即可. 【详解】因为成等差数列，所以， 所以，则，解得或（舍去）． 故选：B. 变式3 已知等比数列的公比为q，则“”是“，，成等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由题意，根据等差中项的应用和等比数列的通项公式化简可得，解出q的值，结合充分、必要条件的定义即可下结论. 【详解】若，，成等差数列，由等差中项的性质可得， 化简可得，且， 则，解得或， 所以“”是“，，成等差数列”的充分不必要条件． 故选：A． 例4 在等差数列中，，，则（ ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】等差数列中，，， 所以，解得. 故选：D 变式4 已知等差数列公差为1，，则（ ）． A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可得，可求结论. 【详解】设等差数列公差为，则， 由等差数列公差为1，， 所以则， 所以. 故选：B. 例5 在等差数列中，，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 变式5 已知等差数列满足，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B. 例6 已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ． 【答案】 16 【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以，， 当时，的最大值为, 故答案为：，16. 变式6 等差数列中，，则 ． 【答案】0 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可． 【详解】等差数列中，， 则公差，则． 故答案为：0. 题型三 等差数列的前n项和公式【频次0.7，难度0.5】 例7 设等差数列的前项和，若，，则（ ） A．18 B．27 C．45 D．63 【答案】C 【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：C 变式7 已知数列是等差数列，，是方程的两根，则 ... ...