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课件网) 2.2 基本不等式（第一课时） 授课教师： 1、理解基本不等式的定义，掌握基本不等式的证明方法以及几何解释; 2、会用基本不等式解决简单的最值问题; 3、提升逻辑思维能力，感悟“执果索因”的证明方法，进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力。 学习目标 学习重点：基本不等式的定义，并用基本不等式解决简单的最值问题. 学习难点：基本不等式的几何解释、用基本不等式解决最值问题. 学习重难点 情景导入 如图，是我们抽象出来的在北京召开的第 24届国际数学家大会的会标，该会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.观察这个图案，回答问题： （1）四个直角三角形面积的关系？ （2）直角三角形两个直角边的关系？ （3）大正方形的面积是？ 4个直角三角形的面积和是？ 它们两者之间的大小关系是？ a2+b2＞2ab 相等 不相等 情景导入 由赵爽弦图抽象出了一类重要不等式： 一般地， a、b∈R， 有a2+b2≥2ab ，当且仅当a=b时，等号成立. （4）当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,可以得到什么结论 当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a +b =2ab. 概念讲解 思考1：如果a>0, b>0, 我们用分别代替a,b,可得到什么结论呢？ 由a2+b2≥2ab 可以得到 ②（基本不等式） 当且仅当时，等号成立 等号成立条件 几何平均数 算术平均数 前提 条件 代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 概念讲解 思考2：我们通过考察a2+b2≥2ab的特殊情形获得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢 基本不等式的证明 法一：作差法 当且仅当时，等号成立 概念讲解 基本不等式的证明 法二：用分析法证明： 显然，（5）是成立的.当且仅当a=b时，（5）中的等号成立. 要证（2），只要证 -a-b0 （3） 要证（4），只要证 只要证 a+b （2） 要证 （1） 要证（3），只要证 （5） （4） “执果索因” 要证明的结论 逐步寻求充分条件 显然成立的结论或者已知条件 概念讲解 基本不等式的证明 法三：用综合法证明： -a-b0 “由因导果” 当且仅当a=b时，等号成立. 已知的条件 逐步推出必要条件 要证明的结论成立 概念讲解 如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.则OD= ,CD= . 基本不等式的几何解释 ， = ， ， 思考：移动点C在AB上的位置，观察CD和OD的关系？ 概念讲解 基本不等式的几何解释 思考：移动点C在AB上的位置，观察CD和OD的关系？ 所以用不等式表示为： 当且仅当时，等号成立 几何解释：在同一圆中半径大于或者等于半弦，当且仅当弦过圆心时，等号成立. 例题讲解 例1.已知，求的最小值. 思考1：“求的最小值”的含义是什么 分析： “求的最小值”，就是要求一个(=),使都有 思考2：代数式什么结构特点 能否用基本不等式求的最小值？如果能，如何求？ 本题中要求的代数式和的形式,而且=1. 例题讲解 例1.已知，求的最小值. 解：因为，所以， 因此所求的最小值为2. 思考3：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即 时，等号成立” 当且仅当，即，时，等号成立. 例题讲解 思考3：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即 时，等号成立” 这是为了说明2是（>0)的一个取值，即等号可以取到，这样才能说明的最小值为2. 思考4：请同学们想一想，当2时，成立吗？这时能说（>0)的最小值吗？ 不能，因为此时是（>0)的一个取值. 例题讲解 例1.已知，求的最小值. 解：因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 一正 二定 三相等 积定和最小 例题 ... ...
