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课件网) 13.4 课题学习 最短路径问题 复习引入 1.轴对称的性质： 3.垂直平分线的性质： 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.垂直平分线： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 4.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短。 P l A B C D 5.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ PC最短，因为垂线段最短。 6.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边。 7.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A ′ A B ① ② ③ P l A B C D “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题。 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，今天我们一起利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”、“造桥选址问题”，解决一些实际问题。 抽象成 C A B l 数学问题 数学问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题。 实际问题 探究点1.相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？我们能帮助这位将军解决这个问题吗？ 首先，我们怎么把这个问题变成数学问题？ 讲授新课 A l B C 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 连接AB,与直线l相交于一点C. 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求。 A B l 问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，这样就变成了问题1的形式？ 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′。 B A B l B ′ C （2）连接AB′，与直线l 相交于点C。 则点C 即为所求． 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； A B l B ′ C C ′ 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′。 由轴对称的性质知： BC =B′C，BC′=B′C′。 ∴AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴AC′+BC′= AC′+B′C′。 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′，即AC+BC最短。 探究点2：造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ 抽象成数学问题 数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 这个问题和探究点1有联系吗？能不能变为探究点1呢？ 由于河宽不变，因此我们可以把河岸a以上一起向下平移就可化为探究点1的情形。 a b A B A/ N M B A A1 M N 理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. Ｎ１ Ｍ１ 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN. 如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短。 方法归纳 在解决最短路径问题时，我们 ... ...
