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课件网) 人教版数学九年级下册 第二十七章 相 似 27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质 1.理解相似三角形对应高、对应中线、对应角的平分线的比也等于相似比。 2.理解相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 3.能应用相似三角形的有关性质解决相关问题。 复习引入 相似三角形的———, 各对应边———。 对应角相等 成比例 1.三角形相似的判定方法有那些？ 两个角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 2. 相似三角形有哪些性质 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 定义：三个对应角相等，三条对应边的比相等。（不常用） 常用 直角三角形：两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例。 探究新知 相似三角形还有哪些性质 思考：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素 如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素 有什么关系呢？ 高 中线 角平分线 周长 面积 探究新知 如图，△ABC △A′B′C′,,相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ A B D C A′ B′ D′ C′ 解：如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′D′。 ∵△ABC △A′B′C′ ∴ ∠B=∠B′ 又△ABC和△A′B′C′都是直角三角形 ∴△ABD △A′B′D′ 结论1：相似三角形对应高的比等于相似比。 ∵ △ ABC∽ △ A1B1C1 ∴ ∠B = ∠B1，∠BAC = ∠B1A1C1 ∵ AD，A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线 ∴ ∠BAD = ∠B1A1D1 ∴ △ ADB∽△ A1D1B1（角角） A1 B1 C1 A B C D D1 证明： ∴ 角平分线 探究新知 探究新知 A1 B1 C1 A B C D D1 中线 结论2：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 结论3：相似三角形对应中线的比等于相似比。 归纳总结 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 解：∵ △ABC ∽△DEF， D E F H 例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ (相似三角形对应 角平分线的比等于相似比)， ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C ∴ 故 EH 的长为 3.2 cm. 例题解析 练一练 1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 _____ . 2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的 高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_____ . 2 : 3 2 : 3 16 cm 探究新知 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的周长比是多少？ A B C A' B' C' 如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 相似三角形周长的比等于相似比 探究新知 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？ A B C A' B' C' D D' 由前面的结论，我们有 相似三角形面积的比等于相似比的平方 归纳总结 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 相似三角形周长的比等于相似比． 结论： 推广： 相似多边形对应线段的比等于相似比。 相似多边形周长的比等于相似比． 相似多边形面积的比等于相似比的平方． 例题解析 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF， 又 ∵∠D=∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2. 例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. A B C D E F 面积为 ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， 练一练 1 ... ...
