2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，则( ) A. B. C. D. 2.某校商一、高二、高三人数分别为，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为的样本，则样本中高二学生的人数为( ) A. B. C. D. 3.若函数与的图象关于直线对称，则( ) A. B. C. D. 4.已知函数，在下列区间中，一定存在零点的是( ) A. B. C. D. 5.记，则( ) A. B. C. D. 6.“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为，两面点数为，一面点数为，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为( ) A. B. C. D. 8.已知函数在上的值域为，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共25分。 9.函数的定义域为 ． 10.若的平均数为，方差为，则的平均数为 ；方差为 ． 11.已知函数，若，则 ． 12.已知定义在上的偶函数满足：在上为单调函数，，若，则的取值范围是 ． 13.已知幂函数在上单调递减． 的值为 ； 记，若，则的取值范围是 ． 14.函数，其中满足且． 给出下列四个结论： 当时，的值域为； 当时，恰有两个零点； 若存在最大值，则的取值范围是 若存在三个互不相等实数，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共5小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.现有大小相同的红球和白球各两个，若在其中随机抽取不放回两个球． 求所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率； 求所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率． 16.为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在的频率分别为已知． 求的值； 求样本中在内的频数； 若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数． 17.已知函数． 判断的奇偶性，并证明； 若，求的取值范围． 18.已知函数且． 当时，求的最大值； 若对任意，均有，求的最大值； 若对任意，均有，求的取值范围． 19.若函数的定义域为，且满足，则称为“函数”． 分别判断下列函数是否为“函数”；直接给出结论 ； 若“函数”在上单调递增，且，求的取值范围： 若“函数”满足：当时，，且在上的值域为，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.记两红球为，两白球为，事件：“恰有一个为红球”， 样本空间，其中样本点个数， ，其中样本点个数 所以； 记事件：“至少有一个为红球”， 则，其中样本点个数，所以， 所以． 16.由图知：， ， ， ， 由于，则． 样本中在内的频率为， 相应的频数为． 样本中在内的频率为， 全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数估计值为：人 17.为奇函数，证明如下： 对于， 有，解得，所以的定义域为， 又， 因此为奇函数； 因为为奇函数，则， 即，所以， 解，得或， 解，得， 综上，，即的取值范围是． 18.当时，， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最大值为 由题“”即：“，均有” 当且仅当时，等号成立，故，即的最大值为 法一：令，令 当时，在上单调递减 所以，，故 当时， 当时：在上单调递减 所以，恒成立，合题 当时：在单调递增，在单调递减 所以，，故 综上，的取值范围是 法二：令， 所以， 当时，，解得 故 当时，恒成立 故 综上，的取值范围是 19.是“函数”；不是“函数”． 理由如下：， 又函数的定义域为，所以为“函数”． ， 故不是“函数”． 先证：在上单调递增． 任取，且， 若，由于在上单调 ... ...