北京市第二十中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

北京市第二十中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知全集 = ，集合 = { | 2 1 ≥ 0}，若 ∈ ，则 的值可以为( ) 1 A. 1 B. C. 1 D. 2 2 2.直线 √ 3 = 0的倾斜角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3.设 ， ∈ ，且 > ，则( ) 1 1 A. < B. > C. 3 < 2 D. | | > | | 4.已知直线 1：2 + + 1 = 0，直线 2： = 1，且 1// 2，则 =( ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 5.已知空间中的两条直线 ， 都与一个平面 平行，则 和 的位置关系为( ) A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 平行、相交或异面 6.在正方体 1 1 1 1中， ∩ = ， 1 ∩ 1 = ，则直线 与直线 夹角的余弦值为( ) √ 6 √ 3 √ 5 √ 2 A. B. C. D. 6 3 5 2 7.已知直线 1， 2的斜率分别为 1， 2，倾斜角分别为 1， 2，则“ 1 > 2”是“ 1 > 2”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 2 2 2 8.已知椭圆 1： 2 + 2 = 1，双曲线 2： 2 2 = 1，其中 > > 0.若 1与 2的焦距之比为1：3，则 的 2 渐近线方程为( ) A. 2 ± √ 5 = 0 B. √ 5 ± 2 = 0 C. ± √ 2 = 0 D. √ 2 ± = 0 9.已知直线 ： 2 + 2 = 0被圆 ： 2 + ( + 1)2 = 25所截得的弦长为整数，则满足条件的直线 有 ( ) A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 10.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1 1， 1 1的 中点，点 在线段 上运动，给出下列四个结论： ①平面 截正方体 1 1 1 1所得的截面图形是五边形； 第 1 页，共 9 页 ②直线 √ 2 1 1到平面 的距离是 ； 2 ③存在点 ，使得∠ 1 1 = 90°； 5√ 5 ④ △ 1面积的最小值是 ． 6 其中所有正确结论的序号是( ) A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④ 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.已知 为虚数单位，复数 = (3 )(4 + )，则 的虚部为_____． 2 2 12.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 5，则双曲线 的渐近线方程为_____． 13.已知圆 2 21：( 3) + = 9与圆 2： 2 + 2 2 + 4 + 4 = 0相交，写出满足条件的实数 的一个 取值为_____． 2 2 14.双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的上焦点为 ， ， 为曲线上两点，若四边形 为菱形，则 的 离心率为_____． 15.如图，已知矩形 中， = 2， = 3，其中 ， 分别为边 ， 上的点，且 // ， = 2 . 将四边形 折起至四边形 ′ ′ ，使平面 ′ ′ 与平面 垂直.动点 在四边形 ′ ′ 及其内部运动， 动点 在四边形 及其内部运动.给出下列四个结论： ①存在点 ， ，使得 = 3； ②存在点 ， ，使得 // ′ ； ③到直线 和 ′ 的距离相等的点 有无数个； 1 ④若 ⊥ ，则四面体 的体积的最大值为 ． 3 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题12分) 如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别是棱 1， 1的中点.求证： 第 2 页，共 9 页 (Ⅰ) //平面 1 ； (Ⅱ) ⊥平面 1 1． 17.(本小题14分) 已知直线 + 2 3 = 0与直线3 2 = 0的交点为 ． (Ⅰ)直线 1经过 ，且与直线 ：3 + 4 + 1 = 0垂直，求直线 1的方程； (Ⅱ)直线 2经过 ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 2的方程． 18.(本小题15分) 已知圆 ： 2 + 2 10 = 0． (Ⅰ)过点 (3,2)作直线 ，其倾斜角为45°，求直线 被圆 截得的弦长； (Ⅱ)求过点 (0, 3)的圆 的切线方程． 19.(本小题15分) 已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，△ 是正三角形， 、 分别为 、 的中 点，过 的平面 交 于点 ，平面 //平面 ． (Ⅰ)证明： 为 的中点； (Ⅱ)取 的中点 ，连接 ， ， ，再从条件① ... ...