北京市海淀区2024年高考数学一模试卷（含答案）

北京市海淀区 2024 年高考数学一模试卷 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知全集 = { | 2 ≤ ≤ 2}，集合 = { | 1 ≤ < 2}，则 =( ) A. ( 2, 1) B. [ 2, 1] C. ( 2, 1) ∪ {2} D. [ 2, 1) ∪ {2} 2.若复数 满足 = 1 + ，则 的共轭复数是( ) A. 1 B. 1 + C. 1 + D. 1 3.已知{ }为等差数列， 为其前 项和.若 1 = 2 2，公差 ≠ 0， = 0，则 的值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4.已知向量 , 满足| | = 2, = (2,0)，且| + | = 2，则 , =( ) 2 5 A. B. C. D. 6 3 3 6 2 2 5.若双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)上的一点到焦点( √ 5, 0)的距离比到焦点(√ 5, 0)的距离大 ，则该双曲 线的方程为( ) 2 2 2 2 A. 2 = 1 B. 2 = 1 C. 2 = 1 D. 2 = 1 4 2 2 4 6.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条直线，且 ， ⊥ .则“ ⊥ ”是“ // ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3, ≤ 0, 7.已知 ( ) = { 函数 ( )的零点个数为 ，过点(0,2)与曲线 = ( )相切的直线的条数为 ， lg( + 1), > 0. 则 ， 的值分别为( ) A. 1，1 B. 1，2 C. 2，1 D. 2，2 8.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在第三象限.则( ) A. ≤ B. ≥ C. < D. > 9.函数 ( )是定义在( 4,4)上的偶函数，其图象如图所示， (3) = 0.设 ′( )是 ( )的导函数，则关于 的不等式 ( + 1) ′( ) ≥ 0的解集是( ) A. [0,2] B. [ 3,0] ∪ [3,4) C. ( 5,0] ∪ [2,4) D. ( 4,0] ∪ [2,3) 第 1 页，共 11 页 10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规 律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60°)，再沿直线繁殖，…； ②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象 为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心 开始，沿直线繁殖到 11，然后分叉向 21与 22方 1 向继续繁殖，其中∠ 21 11 22 = 60°，且 11 21与 11 22关于 11所在直线对称， 11 21 = 11 22 = 11，2 ….若 11 = 4 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径 ( ∈ ，单位： )至少 为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.已知ln = 2，则 2 2 = _____． 12.已知⊙ ：( 1)2 + 2 = 3，线段 是过点(2,1)的弦，则| |的最小值为_____． + 13.若( 2)4 = 4 + 3 + 2 + + ，则 = _____； 1 34 3 2 1 0 0 = _____． 0+ 2+ 4 5 14.已知函数 ( ) = sin( + ) 2 ，则 ( ) = _____；函数 ( )的图象的一个对称中心的坐标为_____． 4 4 15.已知函数 ( ) = √ 3 ，给出下列四个结论： ①函数 ( )是奇函数； ② ∈ ，且 ≠ 0，关于 的方程 ( ) = 0恰有两个不相等的实数根； 1 1 ③已知 是曲线 = ( )上任意一点， ( , 0)，则| | ≥ ； 2 2 ④设 ( 1, 1)为曲线 = ( )上一点， ( 2, 2)为曲线 = ( )上一点.若| 1 + 2| = 1，则| | ≥ 1． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 2 页，共 11 页 16.(本小题13分) 在△ 中， + √ 3 = 2 ． (Ⅰ)求∠ ； (Ⅱ)若 = 2√ 3， + = 4，求△ 的面积． 17.(本小题14分) 如图，在四棱锥 中， // ， 为 的中点， //平面 ． (Ⅰ)求证： = 2 ； (Ⅱ)若 ⊥ ， = = = = 1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已 知，使四棱锥 存在且唯一确定． ( )求证： ⊥平面 ； (ⅱ)设平面 ∩平面 = ，求二面角 的余弦值． 条件①： = ； 条件②： ⊥ ； 条件③：∠ = ∠ ． 注：如果选择的 ... ...