2025高考数学一轮复习-第七章-立体几何与空间向量-专项训练（8份打包）（含解析）

2025高考数学一轮复习-7.7-利用空间向量求空间距离-专项训练 【B级　能力提升】 1.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA= AB=6,点E是棱PB的中点. 求直线AD与平面PBC的距离. 2.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E是线段AB的中点. (1)证明:BD⊥平面AA1C1C; (2)若P是线段BC上的动点,求点P到平面B1DE的距离的取值范围. 3.如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为4,点A到平面BC1D的距离为. (1)求△BC1D的面积; (2)若AB=BC=2,动点E在线段DD1上移动,求△AEC1面积的取值范围. 4.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=2,G为CD的中点,E,F是棱PD上两点(F在E的上方),且EF=. (1)若DE=,求证:BF∥平面AEG; (2)当点F到平面AEC的距离取得最大值时, 求DE的长. 【C级　应用创新练】 5.如图,在四棱锥PABCD中,AC∩BD=O,底面ABCD为菱形,边长为2, PC⊥BD,PA=PC,且∠ABC=60°,异面直线PB与CD所成的角为60°. (1)求证:PO⊥平面ABCD; (2)若E是线段OC的中点,求点E到直线BP的距离. 6.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,四边形AA1B1B为矩形,AB=3,BC=5. 问:在线段BC上是否存在点P,使得点P到平面A1C1B的距离为2 若存在,求BP的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 【B级　能力提升】 1.解:如图,以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴正半轴,建立空间直角坐标系. 设D(0,a,0),则B(6,0,0),C(6,a,0),P(0,0,6),E(3,0,3). 因此,=(3,0,3),=(0,a,0),=(6,a,-6). 则·=0,·=0, 所以AE⊥BC,AE⊥PC, 又BC∩PC=C,BC,PC 平面PBC, 所以AE⊥平面PBC. 由AD∥BC,AD 平面PBC,BC 平面PBC, 得AD∥平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即||=3. 2.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形, 所以BD⊥AC, 因为AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD, 所以AA1⊥BD, 因为AC∩AA1=A,AC,AA1 平面AA1C1C, 所以BD⊥平面AA1C1C. (2)解:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),E(2,1,0),B1(2,2,2), 设P(a,2,0)(0≤a≤2),则=(a,2,0),=(2,1,0),=(2,2,2), 设平面B1DE的法向量为n=(x,y,z), 由则 令x=1, 则y=-2,z=1, 则n=(1,-2,1). 设点P到平面B1DE的距离为h, 所以h===(4-a)∈[,],所以点P到平面B1DE的距离的取值范围是[,]. 3.解:(1)由题知===, 设点A到平面BC1D的距离为h,则h=, 因为=·h, 所以==, 即△BC1D的面积为. (2)由题知AB=BC=2,AA1=1, 以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C1(0,2,1), 设E(0,0,t)(0≤t≤1), 则=(2,0,-t),=(-2,2,1), 则直线AC1的单位方向向量为 u==(-,,), 则点E到直线AC1的距离为 d===∈[,], 所以△AEC1的面积=AC1·d=d∈[,], 所以△AEC1面积的取值范围为[,]. 4.(1)证明:连接BD交AG于H,连接HE, 因为G为CD的中点,四边形ABCD是正方形, 所以GD∥AB,GD=AB,所以==. 因为DE=,EF=,所以==, 所以BF∥EH, 因为BF 平面AEG,EH 平面AEG, 所以BF∥平面AEG. (2)解:在四棱锥PABCD中,因为EF=, 所以△EFC的面积为定值, 又点A到平面EFC的距离为定值,所以三棱锥AEFC的体积为定值, 即三棱锥FAEC的体积为定值. 要使点F到平面AEC的距离最大,则需△AEC的面积最小,即E到AC的距离最小. 由题知,以A为坐标原点,AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(2,2,0), 由于PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD, 故PA⊥AD, 而PA=AD=2,故△PAD为等腰直角三角形, 即∠PDA=; 设E到AD的距离为t,t∈[0,1], 则E(0,2-t,t),=(0,2-t,t),=(2,2,0), 故E到AC的距离为== , 对于二次函数y=t2-2t+2,其图象对称轴为直线t=,当t=时,y= t2-2t+2取到最小值,此时E到AC的距离最小, 此时点F到平面AEC的距离最大, 所以DE=t=. 【C级　应用创新练】 5.(1)证明:因为 ... ...