2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及平面向量的应用-专项训练 【A级 基础巩固】 1.已知向量a=(1,2),b=(x,1),若(a+b)⊥(a-b),则x等于( ) A.-2 B.± C.±2 D.2 2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,
=,则a·(a+b)等于( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 3.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+b,则cos等于( ) A. B. C. D. 4.在水流速度为10 km/h的自西向东的河中,如果要使船以 10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的方向和大小分别为( ) A.北偏西30°,20 km/h B.北偏西60°,10 km/h C.北偏东30°,10 km/h D.北偏东60°,20 km/h 5.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则a-b与b的夹角为( ) A. B. C. D. 6.已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若点Q满足=2,则·等于( ) A.- B. C.- D. 7.已知平面向量a=(,),则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为 .(写出满足条件的一个向量即可) 8.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= . 9.在△ABC中,BC的中点为D,设向量=a,=b. (1)用a,b表示向量; (2)若向量a,b满足|a|=3,|b|=2,=60°,求·的值. 【B级 能力提升】 10.(多选题)若向量a,b满足|a|=|b|=2,|a+b|=2,则( ) A.a·b=-2 B.a与b的夹角为 C.|a-b|>|a+b| D.a-b在b上的投影向量为-b 11.(多选题)已知O为坐标原点,点P1(cos α, sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( ) A.||=|| B.||=|| C.·=· D.·=· 12.在△ABC中,满足⊥,M是BC的中点,若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求·(+)的最小值. 13.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0), ||=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点. (1)若θ=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值; (2)若θ∈[0,],向量m=,n=(1-cos θ,sin θ-2cos θ),求m·n的最小值及对应的θ值. 【C级 应用创新练】 14.(多选题)定义一种向量运算“ ”:a b=(a,b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a,b,c,e,给出下列结论,正确的是( ) A.a b=b a B.λ(a b)=(λa) b(λ∈R) C.(a+b) c=a c+b c D.若e是单位向量,则|a e|≤|a|+1 15.向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即如图所示,a·b= (||2-||2),我们称为极化恒等式.在△ABC中,M是BC的中点, AM=3,BC=10,则·= . 参考答案 【A级 基础巩固】 1.解析:a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)· (a-b)=0,即(1+x)·(1-x)+3=0,解得x=±2.故选C. 2.解析:a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×(-)=0.故选C. 3.解析:由单位向量a,b,则|a|=1,|b|=1,即|c|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+3|b|2=4,得|c|=2,又a·c=a·(a+b)=|a|2+a·b=1, 所以cos==.故选B. 4.解析:如图,船从点O出发,沿方向行驶才能垂直到达对岸,||= 10,||=10,则||==20,则cos∠BOC==,因为∠BOC为锐角,故∠BOC=30°,故船以20 km/h的速度,以北偏西30°的方向行驶,才能垂直到达对岸.故选A. 5.解析:|a+b|=|a-b|=2|a|,等号左右同时平方, 得|a+b|2=|a-b|2=4|a|2,即|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2a·b=4|a|2, 所以a·b=0且|b|2=3|a|2, 所以|a-b|===|b|, 所以cos===-,因为∈[0,π], 所以=.故选D. 6.解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1). 又=2,所以Q(,0), 所以=(-,1),=(-,1), 所以·=+1=.故选D. 7.解析:设b=(x,y),所以a·b=x+y=··, 所以=x+y,所以xy=0,且b为非零向量,所以x=1,y=0满足 题意, 所以b=(1,0). 答案:(1,0)(答案不唯一,满足b=(x,y),xy=0,且x2+y2≠0的任意一个均可) 8.解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b· ... ... 