2024-2025学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知，则( ) A. B. C. D. 3.若，则实数( ) A. B. C. D. 4.函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是( ) A. B. C. D. 6.已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含项的系数为( ) A. B. C. D. 7.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是( ) A. B. C. D. 8.函数的零点个数为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题正确的是( ) A. 线性回归直线不一定经过样本点的中心 B. 设，若，，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 10.已知的部分图象如图所示，则( ) A. B. 的最小正周期为 C. 在内有个极值点 D. 在区间上的最大值为 11.已知抛物线：的焦点为，准线为，，是上异于点的两点为坐标原点则下列说法正确的是( ) A. 若、、三点共线，则的最小值为 B. 若，则的面积为 C. 若，则直线过定点 D. 若，过的中点作于点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知工厂库房中的某种零件来自甲公司，正品率为；来自乙公司，正品率为，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为_____． 13.古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为_____． 14.已知是，的等差中项，直线与圆交于，两点，则的最小值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设． Ⅰ当时，求； Ⅱ当变化时，求四边形面积的最大值． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，，，平面，，，分别是棱，的中点． 证明：平面． 求平面与平面的夹角的正弦值． 17.本小题分 已知椭圆：的离心率为，且过点． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率． 18.本小题分 已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程； 当时， (ⅰ)求的极值； (ⅱ)若的极小值小于，求的取值范围． 19.本小题分 已知数列满足，且对任意正整数，都有． 写出，，并求数列的通项公式； 设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值； 设，是数列的前项和，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：Ⅰ，，， 由余弦定理可得：； Ⅱ由余弦定理可得， 因为为正三角形，所以， ， 所以， 因为，所以， 所以， 所以 故四边形面积的最大值为． 16.解：证明：因为，分别为，的中点， 所以，， 又因为， 所以， 又， 所以，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又面，面， 所以面． 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： 则，，，，，， 平面的法向量为， 又，， 设面的法向量， 所以， 令，则，， 所以面的法向量， 设平面与平面的夹角为， ，， 所以， 所以平面与平面的夹角的正 ... ...
