浙江省杭州市2024-2025学年高考一模数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省杭州市 2024-2025 学年高考一模数学试卷 一、单选题：本题共 9 小题，共 46 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 = {1,2,3}， = { | = √ 1 2}，则 ∩ =( ) A. {1} B. {0,1} C. { 1,1} D. { 1,0,1} 1, ≥ 0 2.函数 ( ) = { 是( ) 1, < 0 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既非奇函数也非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数 2 2 3.已知直线 = 2 是双曲线 ： 2 = 1( > 0)的一条渐近线，则 的离心率等于( ) 4 √ 5 √ 3 √ 5 A. B. C. √ 5 D. 或√ 5 2 2 2 4.将函数 = 的图像向左平移 (0 < < 2 )个单位，得到函数 = ( )的图像，则“ = ( )是偶函 数”是“ = ”的( ) 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知向量 = (1, 1), = (2,1)，若( + ) ⊥ ( 2 + )，则 =( ) 1 1 A. 1或 B. 2或 C. 1或2 D. 2或1 2 2 6.设 ( ) = + ，满足 ( ) ( ) ( ) < 0(0 < < < ).若函数 ( )存在零点 0，则( ) A. 0 < B. 0 > C. 0 < D. 0 > 1 7.已知 = 4，则 =( ) 10 10 A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2 8.对 ∈ [1,+∞)，不等式(( )2 1)( ) ≥ 0恒成立，则( ) 1 1 A. 若 ∈ (0, )，则 ≤ B. 若 ∈ (0, )，则 > 1 1 C. 若 ∈ [ , )，则 = D. 若 ∈ [ , )，则 = 9.如图，在正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正方体的顶点.则满足 ⊥ 的是( ) 第 1 页，共 9 页 A. B. C. D. 二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 10.已知函数 ( ) = 3 2 ( ≥ 0)，则( ) A. 若 ( ) = (1)，则 = 1 1 B. 若 ( ) = (1)，则 = 3 C. 若 = 1，则 ( )在(0,1)上单调递减 1 D. 若 = ，则 ( )在(1,3)上单调递增 3 11.已知函数 ( )的定义域为 ，若 ( ( ) + ) = + ( ) ( )，则( ) A. (1) = 0 B. ( ( )) = C. ( ) = ( ) ( ) D. ( + ) = ( ) ( ) 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.曲线 = 在点 ( , 1)处切线的方程为_____． 13.已知复数 1， 2的实部和虚部都不为0，满足①| 1 | = 2；②| 1 2| = 2，则 1 = _____， 2 = _____. ( 2 写出满足条件的一组 1和 2) 14.已知双曲线 1， 2都经过点(1,1)，离心率分别记为 1， 2，设双曲线 1， 2的渐近线分别为 = ± 1 和 = ± 2 .若 1 1 2 = 1，则 = _____． 2 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) 已知在△ 中，sin2 sin2 = sin2 √ 3 , 2 = ． (1)判断△ 的形状，并说明理由； (2)若点 在 边上，且 = 2 .若 = 2，求△ 的面积． 第 2 页，共 9 页 16.(本小题12分) 在直角坐标系 中，抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 在抛物线 上，若△ 的外接圆与抛 9 物线 的准线相切，且该圆的面积为 ． 64 (1)求 的方程； (2)若点( 1,1)关于直线 = 对称的点在 上，求 的值． 17.(本小题12分) 一设随机变量 所有可能的取值为 1， 2， ， ， ( = ) = > 0( = 1,2, , )，且 1 + 2 + = 1. 定义事件 = 的信息量为 = ，称 的平均信息量 ( ) = ( 1 1 + 2 2 + + )为信息 熵． (1)若 = 3， +1 = 2 ( = 1,2)，求此时的信息熵； (2)最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状 态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小(最合理)的决定.证明： ( ) ≤ ，并解释 等号成立时的实际意义． (参考不等式：若 ( ) = ，则∑ =1 ( ) ≤ (∑ =1 )) 18.(本小题12分) 已知函数 ( ) = 3 1． (1)若 = 1，求 ( )的单调区间； (2)若0 ≤ ≤ 3，求证： ( ) < 0； ( )+ 3+1 (3)若 ( ) = , 1 ≠ 2使得 ( 1) = ( 2) = ，求证： + 1 < | 1 2| < + 1． 19.(本小题12分) 已知正项有穷数列 ： 1， 2， ， ( ≥ 3) ... ...