2025年浙江省杭州市高考数学一模试卷（含答案）

2025年浙江省杭州市高考数学一模试卷 一、单选题：本题共9小题，共46分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.函数是( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既非奇函数也非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数 3.已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于( ) A. B. C. D. 或 4.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则“是偶函数”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知向量，若，则( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6.设，满足若函数存在零点，则( ) A. B. C. D. 7.已知，则( ) A. B. C. D. 8.对，不等式恒成立，则( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点则满足的是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 10.已知函数，则( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则在上单调递增 11.已知函数的定义域为，若，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在点处切线的方程为_____． 13.已知复数，的实部和虚部都不为，满足；，则 _____， _____写出满足条件的一组和 14.已知双曲线，都经过点，离心率分别记为，，设双曲线，的渐近线分别为和若，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知在中，． 判断的形状，并说明理由； 若点在边上，且若，求的面积． 16.本小题分 在直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为． 求的方程； 若点关于直线对称的点在上，求的值． 17.本小题分 一设随机变量所有可能的取值为，，，，，且定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵． 若，，求此时的信息熵； 最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小最合理的决定证明：，并解释等号成立时的实际意义． 参考不等式：若，则 18.本小题分 已知函数． 若，求的单调区间； 若，求证：； 若使得，求证：． 19.本小题分 已知正项有穷数列：，，，，设，记的元素个数为． 若数列：，，，，求集合，并写出的值； 若是递增数列或递减数列，求证：“”的充要条件是“为等比数列”； 若，数列由，，，，，这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15解：为直角三角形，理由如下： 由及正弦定理， 可得，故， 由余弦定理，可得， 由于，故， 又，， 则， 化简可得，故， 由于，故， 进而， 故三角形为直角三角形； 由知：，，且为直角三角形， 设，则， 故在中，由余弦定理， 可得， 即， 解得， 故． 16解：在直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为． 则其半径为， 且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上， 其中焦点，准线方程为， 所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为， 即， 所以的方程为． 设点关于直线对称的点为， 则两点连线的中点坐标在直线上， 即， 化简可得， 由对称性又可知，和所在直线与垂直， 则， 联立可得，， 解得， 所以， 又因为在抛物线上， 则， 即， 即， 即， 所以， 所以， 即． 17解：当时，，且，， ， ； 证明：令，则， ， 由题意可知当时，风险最小最合理的决定， ， 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复 ... ...