2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则( ) A. B. C. D. 2.记为等差数列的前项和，若，，则( ) A. B. C. D. 3.正四棱台的上、下底面边长分别是和，高是，则它的侧面积为( ) A. B. C. D. 4.如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是( ) A. 点必在平面内 B. 点必在平面内 C. 点必在直线上 D. 直线与直线为异面直线 5.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象( ) A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6.已知函数，若正实数，满足，则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.已知均为单位向量，且，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，满足，则( ) A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 10.数列满足，则下列结论正确的是( ) A. 若，则前项和为 B. C. 数列的前项和为 D. 数列最大项为第项 11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是( ) A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段上，且，则的面积为 D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则 _____． 13.已知数列的前项和为，且，则 _____． 14.若函数的图象上存在两点，关于轴对称，则点对称为的“比肩点对”点对与视为同一个“比肩点对”若函数恰有个“比肩点对”，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数的图象的对称中心为． Ⅰ求实数，的值； Ⅱ求的零点个数． 16.本小题分 已知函数，且． 求的值； 求的对称中心和单调递减区间； 若，求的值． 17.本小题分 已知数列对于任意都有． 求数列的通项公式． 设数列前项和为求． 证明：． 18.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知． 求取值的范围； 若，求周长的最大值； 若，，求的面积． 19.本小题分 已知函数，． 若在处取得极值，讨论的单调性； 设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； 设，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：Ⅰ因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以， 即，解得 Ⅱ由Ⅰ知，， 所以， 令，得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 单调递增 所以的极大值为，极小值为， 又，， 所以有个零点． 16.解：， 又， ； ， 令，得， 的对称中心为； 令， 解得， 的单调递减区间为； 若，又， ， ， ． 17.解：因为， 所以，， 得：，即，， 当时，，解得，满足上式， 所以的通项公式为； 由题意， 从而， 所以， 所以； 证明：，， 当时，， 当时，， 当时， ，故得证． 18.解：由， 可得， 整理可得：， 又，则， 根据正弦定理可得：，则， 又由余弦定理可得：，可得：， 即，当且仅当时取等号， 所以， 又因为， 可得； ，由可得，又， 又，可得，则， 所以，即，解得，当且仅当取等号， 所以周长的最大值为； 由，， 又因为， 所以，而， ，因为，， 可得， 可 ... ...
