4.3 任意角的三角函数 教案

授课题目 4.3 任意角的三角函数 选用教材 高等教育-出卷网-《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版） 授课 时长 3 课时 授课 类型 新授课 教学提示 本课借助直角三角形中定义的锐角三角函数，在角的概念推广的基础上进行推广，在平面直角坐标系中定义三角函数，并借助单位圆加深对任意角三角函数的定义的理解，学习根据任意角三角函数的定 义判断角的三角函数值的符号． 教学目标 在锐角三角函数定义的基础上理解任意角三角函数的定义，知道角 α 的三角函数值与在角 α 终边上点的选取无关；能根据角的终边上除原点外的任意一点的坐标求出这个角的正弦值、余弦值和正切值． 学会利用任意角三角函数的定义推断三角函数值在各象限的符号，能通过角为第几象限角，判断给定角的正弦值、余弦值和正切值的符号，也可以由三角函数的符号判断角的终边所在的位置． 能熟记 0 到 π 之间的特殊角的正弦值、余弦值和正切值． 能根据任意角的三角函数的定义推导出角的终边与单位圆的交 点坐标，反之，由角的终边与单位圆的交点坐标，也能得到角的正弦值与余弦值． 教学 重点 任意角三角函数的定义及应用． 教学难点 任意角三角函数的定义的理解；角 α 的三角函数值与在角 α 终边 上点的选取无关；各象限的角的三角函数值的符号的推断． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 引入 三角函数是基本初等函数之一，在研究三角形、圆和其他多边形等几何图形的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的数学工具，在导航、工程学以及物理学等方面都 有广泛的应用. 讲解介绍 倾听思考 介绍知识背景 情境导入 4.3.1 任意角的三角函数定义 在义务教育阶段，我们学习了锐角三角 引导 回忆 借助原有 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 函数. sin A 角A的对边 BC 斜边 AB cos A 角A的邻边 AC 斜边 AB tan A 角A的对边 BC . 角A的邻边 AC 角的概念推广之后， 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数如何定义呢？ 为新知学 习知识做 提问 思考 好铺垫， 体会从特 殊到一般 启发 作答 的思想方 法 指导 交流 设角 α 为平面直 角坐标系 Oxy 中的任意一个角， 在其终边上任取与原点 O 不重合的一点 P(x，y) ， 则 |OM|=|x|， |MP|=|y|．点 P 到原点 O 的距离 |OP|=r= x2 y2 r＞0 . 由相似三角形的性质可知：比值 y x y 、、 r r x (x≠0)，只依赖于角 α 的大小， 与点 P 在角 α终边上的位置无关.因此，对任意角 α，有如下定义： y 称为角 α 的正弦，记作 sinα，即 sinα= y ， r r 讲解 观察 将锐角三 角形中的 三条边与 点的坐标 对 应 起 来，帮助 学生更加 探索 新知 说明 思考 直观认识 问题 感受发现 的乐趣 介绍 理解 x 称为角 α 的余弦，记作 cosα，即 cosα= x ， r r y 称为角 α 的正切，记作 tanα，即 tanα= y ， x x (x≠0)． 可以看出，对于每一个确定的角 α，都有唯一确定的正弦值、余弦值与之对应，即： sinα 与 cosα 是以角 α 为自变量的函数，分别称为正弦函数与余弦函数，它们的定义域都是 R． 当α +k k Z 时，点 P 的横坐标 2 x=0，这时 tanα 没有意义．除此之外，对于每一个确定的 α，都有唯一确定的正切值与之对应，因此 tanα 也是以角 α 为自变量的函数，称为正切函数，其定义域为 α α +k k Z ． 2 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数． 引导 思考 x 比值 r ， y ， y r x 与角 α 终边 上 点 P(x，y)的位 置 无关，而这三个比值的大小随着角 α 的大小变化而变化，因此它们是角 α 的函数，体现函数思想 归纳 领会 定义 理解 例 1 已知角 α 的终边经过点 P( 4， 3)，求角 α 的正弦、余弦和正切． 解 因为 x= 4 ， y=3，所以 r= ( 4)2+32 ＝5． 由三角函数的定义，得 sin ... ...