4.6 正弦函数的图像和性质 教案

授课题目 4.6 正弦函数的图像和性质 选用教材 高等教育-出卷网-《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版） 授课 时长 3 课时 授课 类型 新授课 教学提示 本课将通过简谐振动形成的曲线，感知正弦曲线的特性，进而学习周期函数的有关知识，以及正弦函数的图像和性质；学习借助代数运算与几何直观，认识正弦函数的图像与性质，以及运用“五点法”画 出正弦函数在一个周期上的简图． 1．知道描点法画正弦函数在［0，2π］上的图像的步骤，能找出 正弦函数在［0，2π］上的图像中关键的五个点，并利用“五点法”作正 弦函数相关的函数的图像，培养数形结合的数学思想． 教学 目标 2．能通过正弦曲线分析正弦函数的性质，并利用这些性质解决正 弦函数的相关问题． 3．知道从哪些角度分析函数的性质，学会利用函数图像分析函数 性质的一般方法． 教学 重点 五点作图法作正弦函数的图像，正弦函数的性质的应用． 教学 难点 五点作图法和正弦函数的性质的理解． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 春天万物复苏、百花盛开，年复一年，周而复始．像这样重复出现的现象称为周期现象，数学中也存在这种现象．正弦函数就是一种周期函数，是刻画“周而复始”现象的数 学模型． 描述 领会 结合生活 引入 认识数学 与生活联 系 4.6.1 正弦函数的图像 做一个沙漏单摆实验：如图所示，一个沙漏 提问 思考 用生活中 情境导入 挂在架子上，沙漏下方放一块纸板，纸板中 间画一条直线作为坐标系的横轴．把沙漏沿 启发 作答 的现象创 设情境的 垂直于该直线方向拉离平衡位置，放手使之 引发学生 摆动，同时匀速拉动纸板．这样可在纸板上 引导 交流 思考 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 得到一条曲线．这是一条什么曲线呢？ 激发求知欲 这个实验得到的曲线是一条波浪起伏、 点拨 观察 从物理现 周而复始的曲线．从前面的学习我们知道， 引导 总结 象引出数 随着角的变化，三角函数值也具有这种周而 学知识 复始的变化规律．我们可以用正弦函数来刻 画这条曲线． 根据单位圆的圆周运动特点，单位圆上 任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位 置，这说明自变量每增加或者减少 2π， 正 讲解 倾听 弦函数值将重复出现．这一现象可以用公式 sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z 来表示． 结合 观察 探索新知 一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一 个非零常数 T，使得当 x 取定义域内任意一 图像 引导 图像 思考 个值时，都有 f(x+T) ＝f(x)， 则称函数 y＝f(x)为周期函数．非零常数 T 为 y＝f(x)的一个周期． 因此正弦函数 y = sinx，x∈R 是一个周 说明 理解 说明函数 期函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，… 的周期不 都是它的周期，即常数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是 唯一从而 它的周期．如果周期函数 y＝f(x)的所有周期 说明引入 中存在一个最小的正数 T0，那么这个最小的 讲解 理解 最小正周 正数 T0 就称为 y＝f(x)的最小正周期． 期的必要 本书中所涉及的周期，如果不特别说明， 性 都是指函数的最小正周期． 利用正弦函数的周期性质可以简化正弦函数的图像与性质的研究过程． 下面用描点法作出正弦函数 y = sinx 在 [0,2π]上的图像． （1）列表. 把区间[0,2π]分成 12 等份, 分别求出 y=sinx 在各分点及区间端点的正弦函数值. (2) 描点作图． 根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数 y＝sinx 在 [0,2π]上的图像. 观察函数 y＝sinx 在[0,2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下五个， (0，0)， ,1 ，(π，0)， , 1 ，(2π，0)． 2 2 描出这五个点后，正弦函数的图像就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑 ... ...