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课件网) 第六章 <<< 6.2.3 向量的数乘运算 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则.(重点) 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.(重点) 4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题.(难点) 学习目标 实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5+5+5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a+a+a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a+a+a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算. 导 语 一、向量的线性运算 二、用已知向量表示其他向量 课时对点练 三、向量共线定理 随堂演练 内容索引 一 向量的线性运算 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 问题1 提示 a+a+a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(-a)+(-a)+(-a)是a的长度的3倍，与a的方向相反. 类比实数与代数式的运算，请猜想向量的数乘有哪些运算律？ 问题2 提示 结合律，分配律 1.一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|= . (2)λa(a≠0)的方向： 向量 数乘 λa |λ||a| 特别地，当λ=0时，λa=____. 当λ=-1时，(-1)a=____. 0 -a 2.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)= . (2)(λ+μ)a= . (3)λ(a+b)= . 特别地，(-λ)a=-(λa)= ，λ(a-b)= . 3.向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是 .对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= . 数乘 向量 λμ1a±λμ2b (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时，λa=0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ+a，λ-a是无法运算的. 注 意 点 <<< 设向量a=3i+2j，b=2i-j，求-+(2b-a). 例 1 原式=a-b-a+b+2b-a =a+b =-a+b=-(3i+2j)+(2i-j) =i+j=-i-5j. (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 反 思 感 悟 向量线性运算的基本方法 化简下列各式： (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a)； 跟踪训练 1 原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)［2(2a+8b)-4(4a-2b)］. 原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b. 二 用已知向量表示其他向量 在△ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a=，b=，用向量a，b表示= . 例 2 a+b或a+b 因为D为BC的三等分点， 当BD=BC时，如图1， 则=+=+ =+-)=+=a+b. 当BD=BC时，如图2， 则=+=+-)=+=a+b. 反 思 感 悟 (1)直接法 用已知向量表示其他向量的两种方法 (2)方程(组)法 当直接表示比较困难时，可以首先利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的几何意义建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程(组). (1)△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F，则+等于 A. B. C.- D.- 跟踪训练 2 √ 如图，由题意知+=(+)+(+) =+=+ =-+)=-. (2)如图所示，已知 ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示，. 设=x，则=x， =+=e1-x， ===e1-x. 又==x，由+=， 得x+e1-x=e2. 解方程得x=e2-e1，即=e2-e1. 由=-=e1-x，得=-e1+e2. 三 向量共 ... ...
