(
课件网) 第六章 <<< 6.2.4 向量的数量积(一) 1.通过物理中功等实例的抽象，理解平面向量数量积的概念及其物理意义. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量.(重点) 3.会计算平面向量的数量积.(难点) 学习目标 前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 导 语 一、向量的数量积的概念 二、投影向量 课时对点练 三、向量数量积的性质 随堂演练 内容索引 一 向量的数量积的概念 初中物理课中我们学习过功的概念，请大家写出物理中功的计算公式，并用文字语言表述功的计算公式. 问题 提示 如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cos θ.文字叙述为功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 1.两向量的夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则 =θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，如图所示. 非零向量 ∠AOB 当θ=0时，a与b ；当θ=π时，a与b . 2.两向量垂直：如果a与b的夹角是___，我们说 a与b垂直，记作 . 同向 反向 a⊥b 3.两向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . (1)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，这一点在平面图形中找向量夹角时更需注意.如图所示，∠BAC不是向量与的夹角.作=，则∠BAD才是向量与的夹角. 注 意 点 <<< (2)数量积运算中间是“·”，而且此处的“·”不能省略，也不能写成“×”. (3)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (4)设两向量a，b的夹角为θ，则cos θ=. (1)已知|a|=4，|b|=5， ①当a∥b时，a·b= ； 例 1 20或-20 a∥b，若a与b同向，则θ=0°， a·b=|a||b|cos 0°=4×5×1=20； 若a与b反向，则θ=180°， a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. ②当a⊥b时，a·b= ； 0 当a⊥b时，θ=90°，a·b=|a||b|cos 90°=0. ③当a与b的夹角为30°时，a·b= . 10 当a与b的夹角为30°时，a·b=|a||b|cos 30°=4×5×=10. (2)已知△ABC是边长为6的正三角形，则·= . -18 如图，△ABC是边长为6的正三角形， 所以||=||=6，∠ABC=60°， 所以·=||||cos(180°-60°)=6×6×=-18. (3)已知|a|=6，|b|=4，|a·b|=12，求a与b的夹角. 因为a·b=|a||b|cos〈a，b〉， 所以|a·b|=||a||b|cos〈a，b〉| =|a||b||cos〈a，b〉|=12. 又|a|=6，|b|=4， 所以|cos〈a，b〉|===，所以cos〈a，b〉=±. 因为〈a，b〉∈［0，π］，所以a与b的夹角为. (1)求平面向量数量积的步骤 ①求a与b的夹角θ，θ∈［0，π］；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b=|a||b|cos θ. (2)求向量夹角的方法：①几何法.借助图形求两个向量夹角时，首先要使两个向量起点重合，从而找到两个向量的夹角，然后再观察向量夹角与图形内角的关系，从而确定夹角大小. 特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0=180°-θ；当λ1λ2>0时，θ0=θ.②代数法.向量a，b夹角的余弦值为cos〈a，b〉=. 反 思 感 悟 (1)已知△ABC中，=a，=b，若a·b<0，则△ABC是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形 跟踪训练 1 √ 由a·b<0易知，cos〈a，b〉=<0，向量a与b的夹角A为钝角，故△ABC为钝角三角形. (2)在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=5，则·= ，·= . 由题意，得||=5，||=5，||=5·=5×5×cos 90°=0， ·=5×5×cos 135°=-25. 0 -25 二 投影向量 1. ... ...
