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课件网) 第六章 <<< 6.2.4 向量的数量积(二) 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.(重点) 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.(难点) 学习目标 上节课，我们研究了两个向量的数量积，并能用数量积的定义进行一些简单的计算.我们知道，数乘向量有三个运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 导 语 一、向量数量积的运算律 二、利用数量积求向量的模和向量的夹角 课时对点练 三、与垂直有关的问题 随堂演练 内容索引 一 向量数量积的运算律 阅读课本第20-21页，请利用向量数量积的定义证明(1)a·b=b·a； 问题1 提示 证明如下： 设a，b的夹角为θ，则b，a的夹角也为θ， ∵a·b=|a||b|cos θ，b·a=|b||a|cos θ，∴a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 提示 当λ>0时，(λa)·b=λ|a||b|cos θ，λ(a·b)=λ|a||b|cos θ，a·(λb)=λ|a||b|cos θ； 当λ<0时，(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ) =-λ|a||b|(-cos θ)=λ|a||b|cos θ， λ(a·b)=λ|a||b|cos θ，a(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cos θ)=λ|a||b|cos θ； 当λ=0时，(λa)·b=0·b=0，λ(a·b)=0， a·(λb)=a·0=0. ∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). 问题1 分配律的证明中应用的最关键的知识点是什么？ 问题2 提示 投影向量. 对于任意向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？ 问题3 提示 不一定成立.因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，即使c与a共线，式子的两边也未必相等，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立. 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). (1)a·b=b·c推不出a=c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量. 注 意 点 <<< (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 例 1 √ √ √ 根据向量数量积的分配律知A正确； ∵［(b·c)·a-(c·a)·b］·c =(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确； 显然D正确. (1)多项式乘法与向量数量积运算的联系 反 思 感 悟 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2a·b+2b·c+2c·a a2+b2=0 a=b=0 a2+b2=0 a=b=0 (2)向量数量积的运算律说明，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的混合运算，但是我们也应该注意数量积的运算与多项式的运算的区别，比如向量数量积运算中a·b=|a||b|cos θ，而实数的运算中则没有夹角θ. 反 思 感 悟 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)· (2a+b)等于 A.1 B.3 C.-1 D.-5 跟踪训练 1 √ 因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2 =2×12-(-1)-()2=1. 二 利用数量积求向量的模和向量的夹角 已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a. (1)求向量a与b的夹角； 例 2 因为|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a， 所以c·a=(a+b)·a=a2+a·b=0， 即1+1×2×cos〈a，b〉=0，即cos〈a，b〉=-， 因为〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉=. (2)求|3a+b|. |3a+b|== ==. 反 思 感 悟 (1)求解向量模的问题主要有两种方法，一是要灵活应用a2=|a|2， ... ...
