(
课件网) 第六章 <<< 6.3.1 平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.(重点) 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(难点) 学习目标 物理上，我们已经学过力的合成与分解，结合平行四边形法则，合力可以分解成不同的分力.力从本质上来讲也是向量，那么是不是所有的向量都可以进行分解？如何进行向量的分解呢？我们今天就来学习平面向量基本定理，学完后我们就可以找到答案. 导 语 一、平面向量基本定理 二、用基底表示向量 课时对点练 三、平面向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 一 平面向量基本定理 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上 的向量. 问题1 提示 =e1，=λ1e1，=e2，=λ2e2，=a=+=λ1e1+λ2e2. 上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 问题2 提示 从作图的过程来看，向量e1，e2的方向是确定的，所以平行四边形的两条邻边的方向也是确定的，我们以OC为对角线，过点C所作的两条边的平行线也是唯一确定的，因此交点M，N可以确定，所以在线段OA，OB上，线段OM与OA，ON与OB的长度关系及是否同向也是确定的，根据向量共线定理，我们所找的λ1和λ2也是确定的，所以分解方法唯一. 请结合所学的知识，从理论上证明上述问题中分解方法的唯一性. 问题3 提示 如果a还可以表示成μ1e1+μ2e2的形式，那么λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，可得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，由此式可推出λ1-μ1，λ2-μ2全为0(假设λ1-μ1，λ2-μ2不全为0，不妨假设λ1-μ1≠0，则e1=-e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1=μ1，λ2=μ2，因此，分解方法是唯一的. 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底：若e1，e2 ，我们把｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 不共线 任一 有且只有一对 不共线 (1)同一平面内的基底有无数多个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任意向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的. 注 意 点 <<< 若｛e1，e2｝是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 A.e1-e2，e2-e1 B.2e1-e2，e1-e2 C.2e2-3e1，6e1-4e2 D.e1+e2，e1-e2 例 1 √ 对于A，因为e1-e2=-(e2-e1)，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于B，因为2e1-e2=2，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于C，因为2e2-3e1=-(6e1-4e2)，所以两向量共线，故不能作为基底； 对于D，e1+e2与e1-e2不共线，故能作为基底. (1)判断两个向量是否能构成基底，主要是依据向量共线定理确定两向量是否共线.因为零向量与任意向量都是共线向量，所以基底中的两个基向量一定不能有零向量. (2)根据平面向量基本定理，平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示. 反 思 感 悟 已知向量｛a，b｝是一个基底，实数x，y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b =6a+3b，则x-y= . 跟踪训练 1 3 因为｛a，b｝是一个基底， 所以a与b不共线， 由平面向量基本定理得 所以x-y=3. 二 用基底表示向量 (1)如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设=a，=b，试用a，b表示= . 例 2 b-a 因为DC∥AB，AB=2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以=++ =--+ =-×b-a+b=b-a. (2)若=a，=b，=λ(λ≠-1)，则等于 A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.a+b √ ∵=λ， ∴-=λ(-)， ∴(1+λ)=+λ， ∵λ≠-1， ∴=+=a+b. 反 思 感 悟 (1)用基底表示向量的注意事项 ... ...
