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课件网) 第六章 <<< 6.4.3 正弦定理 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.(重难点) 学习目标 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？本节课我们就来学习一下！ 导 语 一、正弦定理的推导 二、已知两角及任意一边解三角形 课时对点练 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 随堂演练 内容索引 四、三角形解的个数的判断 一 正弦定理的推导 如图，在Rt△ABC中，C=90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？ 问题1 提示 sin A=，sin B=，可以变形写成c==，又sin C=1，则上式可写成==. 在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的方法证明吗？ 问题2 则j与的夹角为-A，j与的夹角为-C. 因为+=， 所以j·(+)=j·. 由分配律，得j·+j·=j·， 即|j|||cos+|j|||cos =|j|||cos， 提示 如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 也即asin C=csin A，所以=. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 =.因此==. 当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A-，j与的夹角为-C， 仿照上述方法， 同样可得==. 在△ABC中，==，那么这个比值与三角形的外接圆有什么关系？ 问题3 提示 如图，圆O是△ABC的外接圆，直径为2R，B'为圆周上一点，满足∠B'CA=，连接AB'，则AB'=2R. 根据圆的性质，∠AB'C=∠ABC， 在Rt△AB'C中，=2R， 所以==2R， 即在△ABC中，有=2R成立， 同理，过B作BC的垂线BA'交圆于A'点，连接A'C， 则有2R==成立， 过B作BA的垂线BC'交圆于C'点，连接AC'， 则有2R==成立， 所以在△ABC中，===2R，2R为△ABC的外接圆直径. 正弦 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相 等，即_____=2R(其中R为△ABC的外接圆半径). == 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=_____，sin B=_____，sin C=_____. (3)a∶b∶c=_____. (4)=2R. sin A∶sin B∶sin C 边角互化时，边与对角的正弦值不能直接互化，而应考虑式子中的“2R”能否约去. 注 意 点 <<< 二 已知两角及任意一边解三角形 在△ABC中，已知B=30°，C=105°，b=4，解这个三角形. 例 1 因为B=30°，C=105°，所以 A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 又因为b=4，则由正弦定理， 得==， 解得a==4，c==2+2. 反 思 感 悟 (1)已知两角及任意一边解三角形的步骤：①根据三角形的内角和为180°，求出第三个角；②代入正弦定理求其他边长. (2)正弦定理实际上是三个等式：=，=，=，每个等式涉及四个元素，知道其中的三个就可以求另外一个. 在△ABC中，已知a=10，B=75°，C=60°，则c= . 跟踪训练 1 ∵A+B+C=180°，∴A=180°-75°-60°=45°.由正弦定理=， 得c===5. 5 三 已知两边及其中一边的对角解三角形 在△ABC中，已知c=，A=45°，a=2，解这个三角形. 例 2 由正弦定理=， 得sin C===， ∵0°
2=a，∴A< C=45°. ∴0°