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课件网) 第六章 <<< 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.(重点) 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(难点) 学习目标 同学们，前面我们学面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 导 语 一、平面向量数量积的坐标表示 二、平面向量的模 课时对点练 三、平面向量的夹角、垂直问题 随堂演练 内容索引 一 平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 问题1 提示 根据向量数量积的定义，易得i·i=1，j·j=1，i·j=0. ∵a=x1i+y1j，b=x2i+y2j， ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a·b= . x1x2+y1y2 若向量m=(2，-1)，n=(3，2)，则(2m+3n)·(m-n)等于 A.-25 B.25 C.-19 D.19 例 1 √ 方法一 因为向量m=(2，-1)， n=(3，2)， 所以2m+3n=(4，-2)+(9，6)=(13，4)，m-n=(-1，-3)， 所以(2m+3n)·(m-n)=(13，4)·(-1，-3)=13×(-1)+4×(-3)=-25. 方法二 因为向量m=(2，-1)，n=(3，2)， 所以m2=5，m·n=4，n2=13， (2m+3n)·(m-n)=2m2+m·n-3n2=2×5+4-3×13=-25. (1)已知向量的坐标进行数量积运算时，要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2. (2)在运算的过程中，我们可以有两种方式，一种是先把各向量用坐标表示出来，再进行数量积的运算；另一种是先利用数量积的运算律将原式展开，再用坐标逐个计算其中的未知量. (3)常用的运算律有： ①(a+b)·(a-b)=a2-b2； ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. 反 思 感 悟 已知平面上三点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则·的值为 A.2 B.-2 C.4 D.-4 跟踪训练 1 √ ∵=(2，1)，=(-2，0)， ∴·=2×(-2)+1×0=-4. 二 平面向量的模 若已知a=(x1，y1)，试计算a2和|a|2的值. 问题2 提示 a2=a·a=x1x1+y1y1=|a|2. 1.若a=(x，y)，则|a|2= 或|a|=_____. 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=_____. x2+y2 (1)已知向量a=(2，m)，b=(3，6)，若|3a+b|=|3a-b|，则实数m的值为 A.1 B.-1 C.4 D.-4 例 2 方法一 已知向量a=(2，m)，b=(3，6)， 则3a+b=(9，3m+6)，3a-b=(3，3m-6)， 由|3a+b|=|3a-b|可得=，解得m=-1. 方法二 ∵|3a+b|=|3a-b|， ∴(3a+b)2=(3a-b)2， 即9a2+6a·b+b2=9a2-6a·b+b2， ∴12a·b=0，即a·b=0，∴2×3+6m=0，m=-1. √ (2)已知向量a=(2，4)，b=(1，n)，若a∥b，则|3a-nb|等于 A.4 B.12 C.8 D. √ 因为向量a=(2，4)，b=(1，n)，且a∥b， 所以2n=1×4，解得n=2， 所以3a-nb=3(2，4)-2(1，2)=(4，8)， 所以|3a-nb|==4. 反 思 感 悟 求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，勿忘记开方. 若向量a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)，则|a-b|的最小值为 . 跟踪训练 2 ∵a=(2x-1，3-x)，b=(1-x，2x-1)， ∴a-b=(2x-1，3-x)-(1-x，2x-1)=(3x-2，4-3x)， ∴|a-b|===， ∴当x=1时，|a-b|取最小值为. 三 平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是a与b的夹角. (1)cos θ==_____. (2)a⊥b _____. x1x2+y1y2=0 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角. 注 意 点 <<< (1)已知a=(4，3)，b= ... ...
