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课件网) 第六章 <<< 6.4.1 平面几何中的向量方法 1.能用向量方法解决简单的几何问题.(重难点) 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 学习目标 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具. 导 语 一、利用向量证明平面几何问题 二、利用平面向量求几何中的长度问题 课时对点练 三、利用平面向量求几何中的角度问题 随堂演练 内容索引 一 利用向量证明平面几何问题 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 例 1 方法一 设=a，=b， 则|a|=|b|，a·b=0. 又=+=-a+， =+=b+， 所以·=· =--a·b+=-|a|2+|b|2=0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则=(2，1)，=(1，-2). 因为·=(2，1)·(1，-2) =2-2=0， 所以⊥，即AF⊥DE. (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 上述过程，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”. (2)向量运算有两种思路 ①基底法：先选取基底，再用基底表示相关向量，进行运算. ②坐标法：先建立平面直角坐标系，再写出各点和相关向量的坐标，从而进行运算. 反 思 感 悟 如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且==.求证：点E，O，F在同一直线上. 跟踪训练 1 设=m，=n， 由==，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以=+=+=-(m+n)=n， =+=+=(m+n)-n. 所以=.又点O为的公共点，故点E，O，F在同一直线上. 二 利用平面向量求几何中的长度问题 如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长. 例 2 以A为坐标原点，以AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，=(3，)， 设=λ，则点E的坐标为(3λ，λ)， 故=(3λ，λ-). 因为BE⊥AC，所以·=0， 即9λ+3λ-3=0，解得λ=，所以E， 故=，||=，即ED的长为. 反 思 感 悟 用向量法解决长度问题时，如果题目中能找到两条已知夹角和长度的线段，则可以选为基底，从而应用公式|a|2=a2求解；如果题目中能求出a的坐标(x，y)，则利用|a|=求解. 如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=，CD=2，且·=-6，则梯形ABCD的周长为 . 跟踪训练 2 5++ 因为+++=0， 所以+=-(+)， 所以=. 又因为·=-6，·=3×2×cos 180°=-6， 所以+=+， 则32+22=7+AD2，解得AD=， 故梯形ABCD的周长为5++. 三 利用平面向量求几何中的角度问题 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值. 例 3 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设A(2a，0)，B(0，2a)， 则D(a，0)，C(0，a)， 所以=(-2a，a)，=(a，-2a)， 不妨设的夹角为θ， 则cos θ====-， 即所求钝角余弦值为-. 反 思 感 悟 (1)用向量法求角度(或余弦值)时，首先要将所求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，再转化为实际问题中的角即可. (2)要注意两向量的夹角和要求角的关系. 如图，在平面直角坐标系中，O是原点.已知点A(16，12)，B(-5，15)，则∠OAB= . 跟踪训练 3 45° 由=(16，12)，=(-5-16，15-12)=(-21，3)， 得||==20，||==15. 其中·=-·=-(16，12)·(-21，3)=-［16×(-21)+12×3］=300， 故cos∠OAB=cos〈〉===.又0°<∠OAB<180°， 所以∠OAB=45°. 1.知 ... ...
