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课件网) 第六章 <<< 6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.(重难点) 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 学习目标 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题.通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.今天我们就来学习如何解决此类问题. 导 语 一、距离问题 二、高度问题 课时对点练 三、角度问题 随堂演练 内容索引 一 距离问题 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC= 30°，求A，B两点的距离. 例 1 在△BCD中，∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45°， ∴∠CBD=90°-45°=∠BCD， ∴BD=CD=40，BC==40. 在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=60°+45°=105°， ∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°. 由正弦定理，得AC==20. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠BCA =(20)2+(40)2-2×20×40cos 60°=2 400， ∴AB=20，故A，B两点之间的距离为20 m. (1)认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求的量转换成三角形中的已知和未知的边和角.标注角的大小时，注意三角形内角和定理以及三角恒等变换公式的应用. (2)根据条件和图形特点寻找合适的三角形，综合利用正、余弦定理求解. 反 思 感 悟 求两个不可到达的点之间的距离问题，本质是求三角形的边长，基本的解题步骤 某海轮以30 n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，则P，C间的距离为 A.20 n mile B.20 n mile C.30 n mile D.30 n mile 跟踪训练 1 √ 如图，在△ABP中，由题意可得AB=30×=20(n mile)，∠APB=30°，∠BAP=120°， 由正弦定理得=， 所以BP===20(n mile)， 在△BPC中，因为BC=30×=40(n mile)， ∠PBC=180°-60°-30°=90°， 所以PC===20(n mile). 二 高度问题 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC=45°， 则塔AB的高是 A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m 例 2 √ 在△BCD中，CD=10 m，∠BDC=45°， ∠BCD=15°+90°=105°，∠DBC=30°， 由正弦定理，=， 得BC==10(m). 在Rt△ABC中，tan 60°=， 故AB=BC·tan 60°=10(m). 反 思 感 悟 (1)“空间”向“平面”的转化：寻找相应的直角三角形，并发现题目中有关高度的线段与平面上相关线段的长度之间的关系，从而把空间中测量高度问题转化为平面上解三角形的问题. (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 测量高度问题的解题策略 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？ 跟踪训练 2 在△BCD中，∠BDC=30°+15°=45°， ∠CBD=180°-45°-105°=30°，CD=10米， 由正弦定理，得BC==20(米)， 在Rt△ABC中，AB=BCsin 60°=20×=30(米). 所以升旗速度v===0.6(米/秒). 三 角度问题 已知岛A处的一艘故障船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，与此同时，位于岛A南偏西38°方向相距3海里的B处有一艘救援 ... ...
