(
课件网) 第七章 <<< 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点) 3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件.(难点) 学习目标 1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10-x)=40的根，他求出的根为5+和5-，积为25-(-15)=40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.负数真的不能开平方吗？ 导 语 一、复数的有关概念 二、复数的分类 课时对点练 三、复数相等的充要条件 随堂演练 内容索引 一 复数的有关概念 我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 问题 提示 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2=-1. 1.复数 (1)定义：我们把形如 的数叫做复数，其中i叫做_____，满足i2= . (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 ，b叫做复数z的 . 2.复数集 (1)定义：全体复数构成的集合C=｛a+bi|a，b∈R｝叫做 . (2)表示：通常用大写字母 表示. a+bi(a，b∈R) 虚数单位 -1 实部 虚部 复数集 C (1)i2=-1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. 注 意 点 <<< 写出下列复数的实部、虚部： 1+3i，-2，-i，+，10+i，0，i2. 例 1 1+3i -2 -i + 10+i 0 i2 实部 1 -2 0 + 10 0 -1 虚部 3 0 - 0 0 0 复数的代数形式z=a+bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. 反 思 感 悟 复数z=2i+3i2的实部是 A.0 B.2 C.3 D.-3 跟踪训练 1 √ 由于i2=-1，则z=2i+3i2=-3+2i，所以实部是-3. 二 复数的分类 1.复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下： 实数 虚数 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 已知m∈R，复数z=+(m2+2m-3)i，当m为何值时， (1)z∈R； 例 2 若z∈R，则m需满足 解得m=-3. (2)z是虚数； 若z是虚数，则m需满足 解得m≠1且m≠-3. (3)z是纯虚数. 若z是纯虚数，则m需满足 解得m=0. 反 思 感 悟 (1)利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z=a+bi(a，b∈R).特别注意若z为纯虚数，则b≠0且a=0. (2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解. (1)(多选)下列说法正确的是 A.对于复数a+bi(a，b∈R)，若a=0，则a+bi为纯虚数 B.对于复数a+bi(a，b∈R)，若b=0，则a+bi为实数 C.若a∈R，则(a2+1)i是纯虚数 D.实数集是复数集的真子集 跟踪训练 2 √ √ √ 对于复数a+bi(a，b∈R)，若a=0，b=0，则a+bi为实数0，若b=0，则a+bi=a为实数，故A错误，B正确； 若a∈R，则a2+1≠0，所以(a2+1)i是纯虚数，故C正确；显然D正确. (2)已知m∈R，复数z=lg m+(m2-1)i，当m为何值时， ①z为实数； 当z为实数时，m需满足 解得m=1. ②z为虚数； 当z为虚数时，m需满足 解得m>0且m≠1. ③z为纯虚数. 当z为纯虚数时，m需满足无解， 即不存在m使z为纯虚数. 三 复数相等的充要条件 在复数集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 .特殊地，a+bi=0 . a=c且b=d a=b=0 (1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值. 例 3 由复数相等的充要条件，得 (2)已知复数x2-1+(y+1)i大于复数2x+3+(y2-1)i.求实数x，y的取值范围. 由题意得，两个复数都是实数. 因为x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i， 所以 解得y=-1且x<1-或x>1+，即实数x，y的取值范围为x<1-或x>1+，y=-1. 反 ... ...
