(
课件网) 第八章 <<< 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 8.3.1 1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(重点) 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(重点、难点) 3.体会和理解棱台的表面积与体积公式的推导过程.(难点) 学习目标 前面我们认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，而且我们在初中学习了正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法.对于一般的棱柱、棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？ 导 语 一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 课时对点练 三、简单组合体的表面积和体积 随堂演练 内容索引 一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图是什么样子的？ 问题1 提示 长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和 表面积 棱柱 S棱柱表=_____ 棱锥 S棱锥表=_____ 棱台 S棱台表=_____ S棱柱侧+2S底 S棱锥侧+S底 S棱台侧+S上底+S下底 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积. 例 1 如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，对角线A1C=15，B1D=9， ∴a2+52=152，b2+52=92， ∴a2=200，b2=56. 即AC=10，BD=2. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2=+===64，∴AB=8. ∴该直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160. 该直四棱柱的底面积S底=AC·BD=20. 该直四棱柱的表面积 S表=160+2×20=160+40. (2)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积. 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F， 在Rt△B1FB中，BF=×(8-4)=2，B1B=8， 故B1F==2， 所以=×(8+4)×2=12， 故四棱台的侧面积S侧=4×12=48， 所以四棱台的表面积S表=48+4×4+8×8=80+48. (1)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意由它们组成的直角三角形的应用. (2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形. 反 思 感 悟 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S-ABCD，如图所示，求它的侧面积、表面积. 跟踪训练 1 ∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形. ∴S侧=4S△SAB=4×SA·SBsin 60° =4××52×=25， S表=S侧+S底=25+25=25(+1). 二 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的_____，h为棱柱的_____ 棱锥 V棱锥=___Sh S为棱锥的_____，h为棱锥的____ 棱台 V棱台=h(S'++S ) S'，S分别为棱台的_____，h为棱台的_____ 底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？ 问题2 提示 (1)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC的体积为 A. B. C. D. 例 2 √ 设三棱锥B1-ABC的高为h，则=·S△ABC·h=××3=. (2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积. 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1=10 cm，AB=20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高. 设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形. ∵S侧=4××(10+20)×EE1=780(cm2)， ∴EE1=13 cm. 在直角梯形EOO1E1中 ... ...
