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课件网) 8.6.1 第八章 <<< 直线与直线垂直 1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. 2.理解并掌握异面直线所成的角.(重点) 3.会找异面直线所成的角.(难点) 学习目标 我们知道，空间中两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线.在初中，我们已经研究了平行直线和相交直线.本节课我们一起来探究异面直线吧！ 导 语 一、异面直线所成的角 二、直线与直线垂直 课时对点练 三、异面直线所成的角的综合问题 随堂演练 内容索引 异面直线所成的角 一 提示 . 平面内两条直线所成的角的范围是多少？ 问题1 提示 不同.我们可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 问题2 异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b 结论 我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角 (或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° (1)找出两条异面直线所成的角，要做平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. (2)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关. (3)空间两条直线所成的角α∈. 注 意 点 <<< 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE 的中心，求： (1)BE与CG所成的角的大小； 例 1 ∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF=FB， ∴∠EBF=45°， ∴BE与CG所成的角为45°. (2)FO与BD所成的角的大小. 如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB=AE，AE∥HD，AE=HD， ∴FB=HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO(或其补角)是异面直线FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO=30°， ∴FO与BD所成的角为30°. (1)作：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°. 反 思 感 悟 求两条异面直线所成的角的三个步骤 在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，求异面直线AD与BC所成的角的大小. 跟踪训练 1 如图所示，设BD的中点为O，连接EO，FO， 则EO∥AD，FO∥BC. 所以∠EOF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角. 又EO=AD=1，FO=BC=， EF=，在△EOF中，由余弦定理的推论， 得cos∠EOF= ==-， 所以∠EOF=. 又异面直线所成的角的范围是，所以异面直 线AD与BC所成的角为. 二 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线 .直线a与直线b垂直，记作 . 直角 互相垂直 a⊥b 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是异面的，即有共面垂直和异面垂直两种情形. 注 意 点 <<< 如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB=BB'=2.求证：BE⊥AC'. 例 2 如图，取CC'的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为CC'的中点， ∴EF∥AC'，∴BE和EF所成的角为∠BEF(或其补角)， 即为异面直线BE与AC'所成的角，且EF=AC'. 在正三棱柱ABC-A'B'C'中， AC'=2，∴EF=. 在等边三角形ABC中，BE==， 在Rt△BCF中，BF==. 在△BEF中，BE2+EF2=BF2， ∴BE⊥EF，即BE⊥AC'. 反 思 感 悟 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理的逆定理、菱形或正方形的对角线 ... ...
