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课件网) 8.6.3 第八章 <<< 平面与平面垂直的判定定理 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.(重点、难点) 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.(重点) 3.能利用面面垂直的判定定理解决一些综合问题.(难点) 学习目标 回顾两条直线垂直的定义，要先定义角的概念，利用两条直线所成角的特殊情况研究直线垂直，因此，定义两平面垂直，我们先从二面角开始. 导 语 一、二面角的概念 二、平面与平面垂直的定义及应用 课时对点练 三、平面与平面垂直的判定定理及应用 随堂演练 内容索引 二面角的概念 一 提示 卫星的轨道平面与地球的赤道平面、教室的墙面与地面等等. 你能举出哪些两个平面相交的例子？ 问题1 提示 指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱l上的一点O在二面角的面上分别作射线OA，OB与二面角的棱垂直，得到∠AOB可以刻画二面角. 我们通常说“把门开大一些”(动手演示教室的门)，是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大小呢？ 问题2 提示 无关. ∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？ 问题3 1.二面角的定义 从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ，这两个半平面叫做二面角的面. 2.画法： 半平面 棱 3.记法：二面角 或二面角 或二面角P-l-Q或二面角 . 4.二面角的平面角 (1)在二面角α-l-β的棱l上 一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角，如图. α-l-β α-AB-β P-AB-Q 任取 ∠AOB (2)二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是 的二面角叫做直二面角. 0°≤α≤180° 直角 已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.求： (1)二面角B-PA-D的平面角的大小； 例 1 ∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD， ∴AB⊥PA，AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°， ∴二面角B-PA-D的平面角为90°. (2)二面角B-PA-C的平面角的大小； ∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD， AC 平面ABCD， ∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°. 即二面角B-PA-C的平面角为45°. (3)二面角A-PD-C的平面角的大小. 如图，取PD，PC的中点分别为O，M，连接AO，MO， ∵PA⊥平面ABCD，AD，CD 平面ABCD， ∴PA⊥AD，PA⊥CD， 又PA=AB=AD，∴AO⊥PD. ∵PA⊥CD，又AD⊥CD， AD，PA 平面PAD，AD∩PA=A， ∴CD⊥平面PAD， 又PD 平面PAD， ∴CD⊥PD，又∵OM∥CD， ∴OM⊥PD，OM⊥平面PAD， ∴OM⊥OA，又∵PD是二面角A-PD-C的棱， ∴∠AOM为二面角A-PD-C的平面角，即为90°. (1)确定二面角的平面角的方法 ①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. ②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角. 反 思 感 悟 ③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角. (2)求二面角大小的步骤 ①找出这个平面角. ②证明这个角是二面角的平面角. ③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小. 反 思 感 悟 如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小. 跟踪训练 1 由已知得PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴A ... ...
