(
课件网) 8.6.2 第八章 <<< 直线与平面垂直的性质定理 1.通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面的关系，掌握直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.(重点) 2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.(重点) 3.会求直线与平面、平面与平面的距离.(难点) 学习目标 在平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？本节课我们就来学习一下！ 导 语 一、直线与平面垂直的性质定理及应用 二、直线与平面垂直关系的综合应用 课时对点练 三、空间中的距离问题 随堂演练 内容索引 直线与平面垂直的性质定理及应用 一 提示 平行. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？ 问题1 提示 一定平行. 如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？ 问题2 提示 如图，假设b与a不平行且b∩α=O，显然点O不在 直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面 内过点O作直线b'∥a，则直线b与b'是相交于点O的两条 不同直线，所以直线b与b'可确定平面β，设α∩β=c，则 O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b'∥a，所以b'⊥c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b'与c垂直，显然不可能.因此b∥a. 你能证明问题2所得结论吗？ 问题3 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 符号语言 a∥b 图形语言 平行 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法. (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据. (3)其逆定理也成立：即两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 注 意 点 <<< 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1. 例 1 如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1， ∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1 平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1. 又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C 平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C. ∴EF∥BD1. (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点. (2)利用平面几何的知识：三角形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理等. (3)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线. (4)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (5)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (6)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 反 思 感 悟 证明线线平行常用的方法 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD=AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC. 求证：AE∥MN. 跟踪训练 1 因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD， 所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD=AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD=D，CD，PD 平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD=C，PC，CD 平面PCD， 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 二 直线与平面垂直 关系的综合应用 如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：=. 例 2 ∵PA⊥平面ABD， PC⊥平面BCD， ∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF. 又PA∩PC=P，PC，PA 平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. 又EF⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC， ∴EF⊥平面PAC， ∴EF∥BD，∴=. 反 思 感 悟 要学会逆向分析的方法，从要证明 ... ...
