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课件网) 8.6.3 第八章 <<< 平面与平面垂直的性质定理 1.探究、发现平面与平面垂直的性质定理.(重点) 2.平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用.(难点) 学习目标 一、垂直关系的相互转化 二、平面与平面垂直性质定理的应用 课时对点练 三、线面垂直与面面垂直的综合应用 随堂演练 内容索引 垂直关系的相互转化 一 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a⊥b的是 A.a α，b⊥β，α∥β B.a⊥α，b⊥β，α∥β C.a⊥α，b∥β，α⊥β D.a α，b∥β，α⊥β 例 1 √ 若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a α， 那么b⊥a，故A正确； 若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b，故B错误； 若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a β，又b∥β，则a与b有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误； 若a α，b∥β，α⊥β，则a与b有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误. 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下： 反 思 感 悟 线线垂直 线面垂直 面面垂直 若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.若m β，α⊥β，则m⊥α B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ 跟踪训练 1 √ 由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D； 对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m' α，则α⊥β，所以C正确. 二 平面与平面垂直性质定理的应用 提示 找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面. 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 问题 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线 于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面_____ 符号语言 α⊥β，α∩β=l， ， a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，线面垂直 垂直 交线 垂直 a α a⊥l 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 例 2 如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC=PB， AD 平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC 平面PBC， ∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD=A，PA，AD 平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. 又AB 平面PAB，∴BC⊥AB. 反 思 感 悟 (1)应用步骤：面面垂直 线面垂直———线线垂直. (2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作直线与平面所成的角或二面角的平面角. 提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 应用面面垂直的性质定理的策略 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，PA=AB，E，F分别为PC，PB的中点. 证明：平面DEF⊥平面PBC. 跟踪训练 2 因为平面ABCD⊥平面PAB， 平面ABCD∩平面PAB=AB，CB⊥AB， CB 平面ABCD，所以CB⊥平面PAB， 因为E，F分别为PC，PB的中点， 所以EF∥CB，所以EF⊥平面PAB， 因为PB 平面PAB，所以EF⊥PB， 连接AF(图略)，因为EF∥CB∥AD， 所以A，D，E，F四点共面， 因为PA=AB，所以PB⊥AF， 因为AF∩EF=F，AF，EF 平面DEF， 所以PB⊥平面DEF，因为PB 平面PBC， 所以平面DEF⊥平面PBC. 线面垂直与面面垂直的综合应用 三 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 例 3 如图，在平面ABC内取一点D ... ...
