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课件网) 7.2.1 三角函数的定义 第七章 <<< 1.理解任意角的三角函数的定义. 2.掌握三角函数值在各个象限的符号. 3.掌握由角或角终边上点的坐标求角的正弦、余弦、正切. 学习目标 游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆 导 语 时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课. 一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 二、正弦、余弦与正切在各象限的符号 课时对点练 随堂演练 内容索引 一 任意角的正弦、余弦与正切的定义 问题1 提示 在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边. 初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样定义的？ 之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和半径为r的圆是否有交点？交点唯一吗？ 问题2 提示 有交点，交点唯一. 前提 如图，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r= 任意角的正弦、余弦与正切的定义 定义 正弦 称___为角α的正弦，记作sin α， 即sin α=___ 余弦 称___为角α的余弦，记作cos α， 即cos α=___ 正切 当角α的终边不在轴上时，称___为角α的正切，记作tan α， 即tan α=___(α≠kπ+，k∈Z) 角α的正弦、余弦、正切都称为α的_____ 三角函数 (1)三角函数值是比值，是一个实数. (2)三角函数值的大小与点P的位置无关，只与角α的终边位置有关. 注 意 点 <<< (1)已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ=x，求sin θ，tan θ. 例 1 由题意知r=OP=， 由三角函数定义得cos θ==. 又∵cos θ=x， ∴=x. ∵x≠0，∴x=±1. 当x=1时，P(1，3)， 此时sin θ==，tan θ==3. 当x=-1时，P(-1，3)， 此时sin θ==，tan θ==-3. (2)已知角α的终边落在射线y=3x(x≥0)上，求sin α，cos α的值. 设射线y=3x(x≥0)上任一点P(x0，y0)(原点除外)，则OP=r=， ∵y0=3x0，∴r=x0， ∴sin α==，cos α==. 1.若将本例(1)中“cos θ=x”改为“cos θ=”，求sin θ，tan θ. 依题意=，解得x=1， ∴点P(1，3)，r=， ∴sin θ==，tan θ==3. 延伸探究 2.若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y=3x(x≥0)上”换为“α的终边落在直线y=3x上”，其结论又如何呢？ ①若α的终边落在第一象限内， 设点P(a，3a)(a>0)是其终边在第一象限内任意一点， 因为r=OP==a， 所以sin α===， cos α===. ②若α的终边在第三象限内， 设点P(a，3a)(a<0)是其终边在第三象限内任意一点， 因为r=OP==-a(a<0)， 所以sin α===-， cos α===-. (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，应分两种情况来处理，把直线看成两条射线，在两条射线上各任取一 点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α=，余弦值cos α=，正切值tan α=. (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 反 思 感 悟 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，则2sin α+cos α= . 跟踪训练 1 1或-1 因为r==5|a|， ①若a>0，则r=5a，角α的终边在第二象限. sin α===，cos α===-， 所以2sin α+cos α=-=1. ②若a<0，则r=-5a，角α的终边在第四象限， sin α==-，cos α==. 所以2sin α+cos α=-+=-1. (2)求的正弦值、余弦值和正切值. 如图，在的终边上取点P，使OP=2，作PM⊥Ox， 则在Rt△POM中， ∠POM=2π- ... ...
