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课件网) 8.2.3 第八章 <<< 倍角公式 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用倍角公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用. 学习目标 同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼假期一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，放假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系. 导 语 一、倍角公式 二、给值求值 课时对点练 三、化简与证明 随堂演练 内容索引 四、倍角公式的应用 一 倍角公式 提示 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β； cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β； tan(α+β)=. 请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式. 问题1 提示 sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α； cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos2α-sin2α； tan 2α=tan(α+α)==. 当α=β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 问题2 倍角公式 S2α：sin 2α=_____. C2α：cos 2α=_____=_____=_____. T2α：tan 2α=_____. 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α (1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. (2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于 4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α+β作为的二倍等情况. (3)正切二倍角的范围：α≠+且α≠+kπ(k∈Z). 注 意 点 <<< (4)常见二倍角公式的变形：cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)； 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2； sin αcos α=sin 2α； 降幂公式：cos2α=；sin2α=. 升幂公式：1+cos 2α=2cos2α；1-cos 2α=2sin2α. 注 意 点 <<< 求下列各式的值： (1)sin2-cos2； 例 1 原式=-=-cos =-cos=cos=. (2)； 原式==2× =2×=2. (3)cos 20°·cos 40°·cos 80°. 原式= = = ===. 反 思 感 悟 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 对于给角求值问题，一般有两类 求下列各式的值： (1)sin cos ； 跟踪训练 1 原式=×2sincos=×sin=. (2)； 原式=×=×tan 45°=. (3)cos4-sin4； 原式= =cos2-sin2 =cos=. (4)+32cos212°. 原式=+16(2cos212°-1)+16 =+16cos 24°+16 =+16cos 24°+16 =+16cos 24°+16 =+16cos 24°+16=16. 二 给值求值 (1)若sin α-cos α=，则sin 2α= . 例 2 (sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α =1-sin 2α= sin 2α=1-=. (2)已知cos=，x∈，则sin 2x= ，cos 2x= . 2x=2-， ∴sin 2x=sin =-sin =-cos 2 =- =-=. ∵x∈， ∴x+∈， ∴sin=. ∴cos 2x=cos =sin 2 =2sincos =2××=. 本例(2)条件不变，求的值. 延伸探究 方法一 由例2(2)知cos 2x=， sin=. 则原式==. 方法二 = =(cos x-sin x) =2 =2cos=2×=. 反 思 感 悟 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化. (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 解决给值求值问题的方法 已知θ∈(0，π)，且sin θ+cos θ=. (1)求sin ... ...
