2025高考数学一轮复习-第6章-数列-专项训练（5份打包）（含解析）

2025高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练 【A级　基础巩固】 1.设数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n，求数列{nan}的前n项和． 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－a1(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝6，bn＝Sn＋＋4(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜. 3.设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 4.设{an}为等差数列，{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝2，a3＝2b2.在①b5－b3＝12b1，②a5＋2＝b4，这两个条件中任选一个，回答下列问题： (1)写出你选择的条件并求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)在(1)的条件下，若cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn. 【B级　能力提升】 1.设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. 2.已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，且a3，2a2，2a4－1成等比数列，数列{bn}满足b1＋＋＋…＋＝n2＋n. (1)求数列{an}、数列{bn}的通项公式； (2)若数列{an}为正项等差数列，设cn＝，求证：数列{cn}的前n项和Tn<. 参考答案 【A级　基础巩固】 1.解：∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝n，则当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n－1，两式相减得an＝1，∴an＝2n-1.又当n＝1时，a1＝1，满足an＝2n-1.综上知an＝2n-1，∴nan＝n·2n-1.设数列{nan}的前n项和为Sn，∴Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n-2＋n·2n-1，2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n-1＋n·2n，∴－Sn＝1－n·2n＋(21＋22＋…＋2n-1)＝1－n·2n＋＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1. 2.(1)解：已知Sn＝2an－a1， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1， 两式相减得an＝2an－1，n≥2， 所以＝2为常数． bn＝Sn＋＋4， 令n＝1，得6＝a1＋＋4，解得a1＝1， 所以数列{an}是公比为2、首项为1的等比数列， 所以{an}的通项公式为an＝2n-1. (2)证明：由Sn＝2an－a1＝2n－1，得bn＝2n＋＋3， 则＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝－＜. 3.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2. 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1（舍去）或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和．由(1)及题设可得an＝(－2)n-1，所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n-1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n-1＋n×(－2)n. 所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n-1－n×(－2)n ＝－n×(－2)n， 所以Sn＝－. 4.解：(1)选择①：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q>0). 则根据题意有解得 所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1，bn＝2·2n-1＝2n； 选择②：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q>0). 则根据题意有解得 所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1，bn＝2·2n-1＝2n. (2)由(1)可知cn＝3n－1＋2n， 所以Sn＝(2＋21)＋(5＋22)＋(8＋23)＋…＋(3n－1＋2n)＝[2＋5＋8＋…＋(3n－1)]＋(21＋22＋23＋…＋2n) ＝＋＝＋2n+1－2. 【B级　能力提升】 1.(1)解：设{an}的公比为q，则an＝qn-1. 因为a1，3a2，9a3成等差数列， 所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝， 故an＝，bn＝. (2)证明：由(1)知Sn＝ ＝， Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－， 即Tn＝－ ＝－， 整理得Tn＝－， 则2Tn－Sn＝2－＝－＜0，故Tn＜. 2.(1)解：∵数列{an}是等差数列，设公差为d， 则a3·(2a4－1)＝(2a2)2， 即(2＋2d)·(6d＋3)＝(4＋2d)2，解得d＝1或d＝－， 故an＝n＋1或an＝－n＋， 令n＝1，得b1＝2， 当n≥2时，b1＋＋＋…＋＝(n－1)2＋(n－1)， 与原式作差得＝n＋1，bn＝n2＋n(n≥2)， 验证得b1＝2满足通项，故bn＝n2＋n(n∈N*). (2)证明：因为数 ... ...