2025高考数学一轮复习-3.4-导数与函数的极值与最值-专项训练 【A级 基础巩固】 1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( ) A.1 B．2 C.3 D．4 2．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( ) A.2 B．－ C.3＋ln 2 D．－2＋2ln 2 3．函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( ) A. B．e3 C. D．2e 4．已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是( ) A.[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C.[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 5．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于( ) A. B． C. D． 6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值．若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( ) A.15 B．－15 C.10 D．－13 7．(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根 D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2 8．写出一个存在极值的奇函数f(x)＝_____． 9．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为_____百万件． 10．已知函数f(x)＝x ln x＋mex有两个极值点，则实数m的取值范围是_____． 11．已知函数f(x)＝ex cos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 已知函数f(x)＝.设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a，2a]上的最小值． 【B级 能力提升】 1．若直线y＝ax＋b为函数f(x)＝ln x－图象的一条切线，则2a＋b的最小值为( ) A.ln 2 B．ln 2－ C.1 D．2 2．(多选)已知函数f(x)＝x ln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是( ) A.0＜x0＜ B．x0＞ C.f(x0)＋2x0＜0 D．f(x0)＋2x0＞0 3．在空间直角坐标系O xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程x2＋y2＋z2＝1表示球面，这就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一点，且x＞0，y＞0，z＞0，则当取得最小值时，的最大值为_____． 4．设g(x)＝x3－ax2＋(x－a)cos x－sin x，a∈R，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 参考答案 【A级 基础巩固】 1．解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知， f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4， 但是在原点附近的导数值恒大于零， 故x＝0不是函数f(x)的极值点． 其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负， 故极大值点有2个． 答案：B 2．解析：f′(x)＝＋2ax－3， ∵f(x)在x＝2处取得极小值， ∴f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝， ∴f(x)＝2ln x＋x2－3x， f′(x)＝＋x－3＝， ∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－. 答案：B 3．解析：依题意f′(x)＝(x2－2x－3)＝(x－3)(x＋1)， 故函数在(2，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 故函数在x＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f(3)＝＝. 答案：A 4．解析：由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1， 得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1. 根据题意得[2(a－1)]2－4≤0， 解得0≤a≤2. 答案：C 5．解析：由图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是f(x)的极值点， ∴1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0， 解得b＝－3，c＝2， ∴f(x)＝x3－3x2＋2x， ∴f′(x)＝3x2－6x＋2， x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根， ∴x1＋x2＝2，x1·x2＝， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4 ... ...
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