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课件网) 第一章 <<< §7 正切函数 1.理解任意角的正切函数的定义. 2.能画出y=tan x 3.内的单调性. 4.正切函数诱导公式的推导及应用. 学习目标 在初中阶段，我们就已经知道，在一个直角三角形中，我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中，我们又讨论了正弦和余弦问题，给出了正弦函数和余弦函数的定义，同时也对 正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究，那 么正切函数是如何定义的呢？正切函数的诱导公式又 是什么样的呢？本节课就让我们一起来研究吧！ 导 语 一、正切函数的定义 二、正切函数的诱导公式 课时对点练 三、正切函数的图象与性质 随堂演练 内容索引 一 正切函数的定义 设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ 问题1 提示 当a≠0时α∈R，α≠+kπ(k∈Z). 根据函数的定义，比值_____. 特殊角的正切值： 注 意 点 <<< α 0 tan α 0 1 - -1 - (1)若角θ的终边经过点A则m= . 例 1 - 由正切函数的定义得 解得m=-. (2)若tan α=利用三角函数的定义，求sin α和cos α. ∵tan α=>0，∴角α是第一或第三象限角. ①若角α是第一象限角，则由tan α=知，角α的终边上必有一点P(2，1)， ∴r=|OP|=. ∴sin α=. ②若角α是第三象限角，则由tan α=知，角α的终边上必有一点P(-2，-1)， ∴r=|OP|=. ∴sin α= cos α=. (1)先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解. (2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α=. 反 思 感 悟 求正切函数值的两种方法 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， 终边在直线y=2x上，则的值为 A. B. C.3 D.-3 跟踪训练 1 √ 在直线y=2x上任取一点P(a，2a)(a≠0)， 由题意，得tan θ=2， 所以. (2)(多选)已知点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点，则 A.tan α=-2 B.cos α= C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0 √ √ 因为点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点， 所以|OP|=|m|. tan α=-=-2，故A正确； cos α= 当m<0时，cos α=-故B不正确； 又sin α=<0， 故C正确，D不正确. 二 正切函数的诱导公式 提示 tan(π+α)==tan α， tan. 根据正切函数定义，以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式， 当-+α的正切值有什么关系. 问题2 正切函数的诱导公式 角 正切 x+kπ(k∈Z) tan x -x -tan x π-x -tan x x+ - -x (1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号)； (2)公式中的x≠kπ+(k∈Z)且在tan中x≠kπ(k∈Z). (3)正切函数值的符号 注 意 点 <<< 角所在象限 一 二 三 四 正切函数值符号 正 负 正 负 求下列各式的值. (1)7cos 270°+3sin 270°+tan 765°； 例 2 原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)=-7cos 90° -3sin 90°+tan 45°=0-3×1+1=-2. (2). 原式==. 反 思 感 悟 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键. (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值. (1)已知tan(α-π)=等于 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ 由tan(α-π)= ∴tan. (2)tan 的值为 . 原式=tan =tan =0. 0 三 正切函数的图象与性质 提示 y=tan x是周期函数，且T=π，无最大、最小值.正切函数的图象在定义域上不是连续的. 学习了y=sin x，y=cos x的图象与性质后，明确了y=sin x，y=cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值.类比y=sin x，y=cos x的图象与性质.y=tan x是周期函数吗？有 ... ...
