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课件网) 第二章 <<< §3 从速度的倍数到 向量的数乘 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握共线(平行)向量基本定理，能熟练运用共线(平行)向量基本定理处理有关共线向量问题. 学习目标 在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总 是先看到闪电，后听到雷声？这是因为光速远 远大于声速.经测量光速大小约为声速的8.8× 105倍. 一物体由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v=gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然v2=2v1，并且方向都是竖直向下的. 以上实例说明在实际中存在着这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍数关系，因此，有必要定义实数与向量的乘积运算. 导 语 一、数乘运算的定义及运算律 二、用已知向量表示其他向量 课时对点练 三、共线(平行)向量基本定理 随堂演练 内容索引 一 数乘运算的定义及运算律 有一同学从O点出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后该同学在哪里，用向量怎么表示这段位移？ 问题1 提示 如图所示. 相同的几个数相加可以转化为乘法运算，如3+3+3+3+3=5×3= 15，那么相等的几个向量相加是否也能转化为乘法运算呢？ 问题2 提示 可以.a+a+a+a+a=5×a=5a. 1.向量数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个 ，记作λa，满足以下条件： (1)当 时，向量λa与向量a的方向相同； 当 时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ=0时，0a= . (2)|λa|= . 这种运算称为向量的数乘. 向量 λ>0 λ<0 0 |λ||a| 2.向量数乘的几何意义 实数与向量数乘λa的几何意义：当 时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍；当 时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 3.向量的单位化 在非零向量a方向上的单位向量是___，它表明一个非零向量除以它的___ (乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量 方向的 向量，这一过程称为向量的单位化. λ>0 λ<0 模 同 单位 4.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量. (1)(λ+μ)a= . (2)λ(μa)= . (3)λ(a+b)= . λa+μa (λμ)a λa+λb (1)向量的加法、减法和数乘的综合运算统称为向量的线性运算. (2)对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b. 注 意 点 <<< (1)(多选)已知a，b为非零向量，下面说法正确的是 A.2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B.-2a的方向与3a的方向相反，且-2a的模是3a的模的倍 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 例 1 √ √ √ 对于A，∵2a=a+a与a方向相同， 且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|，故A正确； 对于B，∵-2a=(-a)+(-a)与-a同方向，3a=a+a+a与a同方向，由于-a与a反方向，故-2a与3a反方向，又∵|-2a|=2|a|，|3a|=3|a|，所以-2a的 模是3a的模的倍，故B正确； 对于C，∵-2a+2a=(-2+2)a=0，故-2a与2a是一对相反向量，故C正确； 对于D，∵-(b-a)=a-b，∴两者为相等向量，故D错误. (2)计算下列各式： ①4(a+b)-3(a-b)； 4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b. ②3(a-2b+c)-(2a+b-3c)； 3(a-2b+c)-(2a+b-3c)=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c. ③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b). (a-b)-(2a+4b)+(2a+13b) =a-b-a-b+a+b =a+b=0a+0b=0+0=0. (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数. (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍. (3)当λ=0或a=0时，λa=0.注意是0，而不是0. 反 思 感 悟 对数乘向量的四点说明 (1)(多选)已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有 A.当λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 B.当λ ... ...
