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课件网) 第二章 <<< 6.1.1 余弦定理 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.掌握三角形面积公式的应用. 学习目标 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB km，AC=1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC=150°. 你能求出山脚的长度BC吗？这节课我们学习用 余弦定理来解决这个问题. 导 语 一、余弦定理 二、余弦定理的推论 课时对点练 三、三角形的面积公式 随堂演练 内容索引 一 余弦定理 已知一个三角形两边及其夹角，如何求三角形的第三边？ 问题1 提示 在△ABC中，设||=c，根据向量的数量积，可得 a2) =b2-2bccos A+c2， 即a2=b2+c2-2bccos A. 在a2=b2+c2-2bccos A中，若A=90°，公式会变成什么？ 问题2 提示 公式变为a2=b2+c2，即勾股定理. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边的 减去这两边与它们夹角余弦的_____ 公式 表达 a2=_____ b2=_____ c2=_____ 平方和 积的两倍 b2+c2-2bccos A， a2+c2-2accos B， a2+b2-2abcos C (1)余弦定理对任意的三角形都成立. (2)在余弦定理中，共有4个量，知三求一. 注 意 点 <<< (1)在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是 A.8 B.2 C. D. 例 1 √ ∵c2=a2+b2-2abcos C =16+36-2×4×6×76， ∴c. (2)在△ABC中，已知b=3，c=2C=120°，求a. 由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C， 即12=a2+9-2×3×a× 整理得a2+3a-3=0， 解得a. 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 反 思 感 悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 (1)已知在△ABC中，a=1，b=2，cos C则c= . 跟踪训练 1 根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×4，解得c=2. 2 cos(B+C)=-cos A 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A， 即5=b2+4+2×b×2× 整理得3b2+8b-3=0，解得b(b=-3舍去). (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a则b= . 二 余弦定理的推论 提示 可以，根据余弦定理公式变形求解. 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题吗？怎么求解呢？ 问题3 提示 当角C为锐角时，c2
a2+b2. 当角C为直角时，有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 问题4 已知三角形的三条边，求出三个角的大小，即 cos A cos B cos C_____. (1)在△ABC中，已知a=2求A，B，C的大小. 例 2 根据余弦定理，得cos A. ∵A∈(0，π)，∴A cos C ∵C∈(0，π)，∴C. ∴B=π-A-C=π- ∴A. (2)在△ABC中，若acos A+bcos B=ccos C，试判断△ABC的形状. 由余弦定理可得 a· 等式两边同乘以2abc得 a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2)， 整理化简得a4+b4-2a2b2=c4，所以(a2-b2)2=c4. 因此有a2-b2=c2或b2-a2=c2. 即a2=b2+c2或b2=a2+c2， 故△ABC为直角三角形. 反 思 感 悟 (1)已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角. (2)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，一般有两条思考路线： ①先化边为角. ②先化角为边. 若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 ... ... 