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课件网) 第二章 <<< 6.1.2 正弦定理 1.理解并掌握正弦定理的证明方法. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解决解三角形、判断三角形解的个数问题. 学习目标 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？本节课我们就来学习一下！ 导 语 一、正弦定理 二、正弦定理的变形公式 课时对点练 三、三角形解的个数的判断 随堂演练 内容索引 一 正弦定理 如图，在Rt△ABC中，各自等于什么？ 问题1 提示 =c. 在一般的△ABC中，还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？ 问题2 提示 在一般的△ABC中，仍然成立，课本借助直角三角形和三角函数的定义来证明.还可以借助外接圆或向量的数量积来证明. 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 _____ 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等 正弦 (1)正弦定理对于任意三角形均成立. (2)在△ABC中，A>B sin A>sin B a>b. 注 意 点 <<< 在△ABC中，已知B=30°，C=105°，b=4，求A，a. 例 1 因为B=30°，C=105°， 所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 由正弦定理得， 所以a=. 角度1 已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的 三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 反 思 感 悟 在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，求A，b. 跟踪训练 1 A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理得， b=. 在△ABC中，已知c=，A=45°，a=2，求B，C. 例 2 ∵， ∴sin C=， ∵0°
2=a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. 延伸探究 反 思 感 悟 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.注意讨论该角是否可能有两个值. (2)用三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边. 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 在△ABC中，AB=2，AC=3，B=60°，则sin C等于 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ 由正弦定理，得， 即. 二 正弦定理的变形公式 提示 等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等. 在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？ 问题3 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； (2)sin A=； (3)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c； (4)； (5)asin B=bsin A，asin C=csin A，bsin C=csin B. 在△ABC中，bsin B=csin C且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状. 例 3 由bsin B=csin C，得b2=c2， ∴b=c，∴△ABC为等腰三角形， 由sin2A=sin2B+sin2C得a2=b2+c2， ∴△ABC为直角三角形， ∴△ABC为等腰直角三角形. 反 思 感 悟 (1)化边为角.将题目中的条件利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状. (2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a=b，a2+b2=c2)，进而确定三角形的形状. 判断三角形形状的常用方法 在△ABC中，若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A，试判断△ABC的形状. 跟踪训练 3 结合正弦定 ... ... 