第二章 6.1.3 用余弦定理、正弦定理解三角形（课件+学案+练习，共3份）

(课件网) 第二章 <<< 6.1.3 用余弦定理、正弦定理解三角形 1.利用余弦定理、正弦定理了解三角形中边与角的关系. 2.利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状. 3.掌握余弦定理、正弦定理的简单应用. 学习目标 通过以前的学习，我们已经知道，利用正、余弦定理可解四类三角形：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两角及一边；(4)已知两边及一边的对角，并且能计算三角形面积及其外接圆的直径，在此基础上，我们继续学习正、余弦定理的应用. 导 语 1.利用余弦定理和正弦定理进行边角转化 (1)cos A=_____；cos C=_____. (2)2Rsin A= ，2Rsin B= ，2Rsin C= (其中R为△ABC外接圆的半径). a b c 2.利用余弦定理判断三角形的形状：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a2>b2+c2，则cos A=<0，△ABC为 三角形； (2)若a2=b2+c2，则cos A==0，△ABC为 三角形； (3)若a20，△ABC为 三角形. 钝角 直角 锐角 3.三角形特色的变形和结论 由A+B+C=180°可得 (1)sin(A+B)= ，cos(A+B)= ，tan(A+B)= . (2)sin_____. 4.重要结论：在△ABC中， (1)若sin A=sin B或cos A=cos B，则A=B； (2)若sin 2A=sin 2B，则A=B或A+B=； (3)acos B+bcos A=c，bcos C+ccos B=a，acos C+ccos A=b. sin C -cos C -tan C 一、解平面几何问题 二、余弦定理、正弦定理与其他知识的综合 课时对点练 三、平面几何中的证明问题 随堂演练 内容索引 一 解平面几何问题 　　　在四边形ABCD中，∠A=45°，∠ABC=105°， ∠C=60°，BC=1，CD=2. (1)求∠CBD的大小； 例 1 在△BCD中，由余弦定理，得 BD==. 由BC=1，CD=2，得BC2+BD2=CD2， ∴∠CBD=90°. (2)求AB的值. ∵∠ABC=105°，∠DBC=90°， ∴∠ABD=105°-90°=15°， ∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=120°， 在△ABD中，由正弦定理得， ∴AB=. (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题. 反 思 感 悟 此类题目求解时，一般有如下思路： 　　　　　如图，已知在△ABC中，角A，B，C所对的边 分别为a，b，c.若B=，c=2，D为BC的中点. (1)求cos∠BAC的值； 跟踪训练 1 在△ABC中，由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B，∴7=a2+4-2×2×a×， 即(a-3)(a+1)=0，解得a=3(a=-1舍去)， ∴cos∠BAC=. (2)求AD的值. 方法一　由(1)得，a=3，∴BD=. 在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B=4+. ∴AD=. 方法二　如图，取AC的中点E，连接DE，则DE=AB=1， AE=， cos∠AED=-cos∠BAC. 在△ADE中，由余弦定理得AD2=AE2+DE2-2AE·DE· cos∠AED=. 二 余弦定理、正弦定理与其他知识的综合 　　　已知函数f(x)=a·b，其中a=，b=(2，1)，x∈R. (1)求函数y=f(x)的单调递减区间； 例 2 f(x)=a·b=2cos+1， 令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z)， 解得kπ-(k∈Z)， ∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)=-1，a=，且向量m=(3，sin B)与n=(2，sin C)共线，求边长b和c的值. ∵f(A)=2cos+1=-1， ∴cos=-1. 又0