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课件网) 3.1.2 第三章 <<< 排列数的应用 1.掌握基本计数原理与排列的关系，进一步加深对排列概念的理解. 2.能利用排列数公式解决简单的实际问题. 学习目标 一、无限制条件的排列问题 二、排队问题 课时对点练 三、数字中的排列问题 随堂演练 内容索引 无限制条件的排列问题 一 (课本例3)某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？ 例 1 如果把每一场比赛都看成主场队在前、客场队在后的一个排列，则不难看出，所求比赛数等于从12个对象中取出2个的排列数，即=12×11=132. 用具体数字表示下列问题. (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； 例 1 从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有=100×99=9 900(个). (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是0，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有=3×2×1=6(个). (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数. 可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有=5×4×3×2=120(个)分配方案. 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么. 反 思 感 悟 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的高铁票的种数为 A.15 B.30 C.12 D.36 跟踪训练 1 √ 对于两个大站A和B，从A到B的高铁票与从B到A的高铁票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张高铁票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的高铁票有=6×5=30(种). (2)3盆不同品种的花排成一排，共有 种不同的排法. 6 共有=3×2×1=6(种)不同的排法. 二 排队问题 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (1)甲不在首位的排法有多少种？ 例 2 角度1 元素的“在”与“不在”问题 方法一 把元素作为研究对象. 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法； 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法. 由分类加法计数原理知，共有+4×=2 160(种)排法. 方法二 把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种方法. 由分步乘法计数原理知，共有=2 160(种)排法. 方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种， 所以符合要求的排法有-=2 160(种). (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 把位置作为研究对象，先考虑特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有=1 800(种)排法. (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位 ... ...
