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课件网) 4.1.2 第四章 <<< 贝叶斯公式 1.了解贝叶斯公式. 2.结合古典概型和全概率公式以及贝叶斯公式计算概率. 学习目标 贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763年首先提出的，经过 多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整 套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊 断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用. 下面我们就共同来学习贝叶斯公式，了解它的本质和应用吧. 导 语 一、贝叶斯公式的概念 二、贝叶斯公式的应用 课时对点练 三、定理2的应用 随堂演练 内容索引 贝叶斯公式的概念 一 已知某厂生产的奶制品优质品率为95%，而且优质品中包装达标的占90%；非优质品中，包装达标的占70%.如果从该厂生产的奶制品中，随机取了一袋，发现包装是达标的，若用A表示是优质品，B表示包装达标.则这袋奶制品是优质品的概率为多少(精确到0.1%)？ 问题 提示 表示不是优质品，而且有 P(A)=95%，P(B|A)=90%，P(B|)=70%； 由乘法公式可得P(AB)= P(A)P(B|A)=95%×90%=85.5%. 由全概率公式可得 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =95%×90%+(1-95%)×70%=89%. 因此一袋包装达标的奶制品是优质品的概率为 P(A|B)==≈96.1%. 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有 P(A|B)== ，这称为贝叶斯公式. 公式P(A1|B)==反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. 注 意 点 <<< 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)=0.95，P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)=0.005，试求P(C|A). 例 1 已知P(A|C)=0.95，P(A|)=1-P(|)=0.05，P(C)=0.005，P()=0.995，由贝叶斯公式，得P(C|A)=≈0.087. 本题的结果表明，虽然P(A|C)=0.95，P(|)=0.95，这两个概率都比较高.但若将此试验用于普查，则有P(C|A)≈0.087，亦即其正确性只有8.7%(平均1 000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症).如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果. 反 思 感 悟 若P(B)=0.4，P(A|B)=0.35，P(A|)=0.2，则P(B|A)等于 A.0.52 B.0.54 C.0.56 D.0.58 跟踪训练 1 √ P(B|A)==≈0.54. 二 贝叶斯公式的应用 (课本例5)某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率(精确到0.1%). 例 2 用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品. 则由已知有P(A)=80%，P(B|A)=95%， P(B|)=60%. 从而P()=1-80%=20%， 因此由贝叶斯公式可知 P(A|B)= =≈86.4%. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，现有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 例 2 设B=“中途停车修理”，A1=“经过的是货车”，A2=“经过的是客车”，则B=A1B∪A2B， 由贝叶斯公式，得 P(A1|B)= ==0.8. 反 思 感 悟 第一步：利用全概率公式计算P(A)， 即P(A)=P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)=求解. 利用贝叶斯公式求概率的步骤 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.试求某日早上的第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？ 跟踪训练 2 设A为事件“产品合格”， ... ...
